Численное интегрирование, помогите определить что за метод

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823881 писал(а):

Шагу, равному $1/32$, соответствует такая интерпретация Ваших данных:
$f(0)=0.504$
$f(\frac 1 {32})=0.5$
$f(\frac 2 {32})=0.497$
...
$f(\frac {17} {32})=0.439$
Вот для таких точек $x_i$ известны $f(x_i)$. Что же, нельзя численно найти интеграл? Можно, конечно. Он будет в $32$ раза меньше, чем если бы $x_i$ были последовательные целые числа. (Представьте, что фигуру сузили в $32$ раза.)

Ну в таком случае, значение площади/интеграла вообще может каким угодно большим/или малым, в зависимости от шага...

Скажите пожалуйста, если экспериментально, значения $x_i$ следующие
$x_0=543 нанометра , x_1 = 544,x_2 = 545,\dots x_{17}= 560 нанометров$, то разве шаг не должен быть h=1 ?

[svv]

Alexeybk5 в сообщении #823889 писал(а):

Ну в таком случае, значение площади/интеграла вообще может каким угодно большим/или малым, в зависимости от шага...

Да, конечно! Пусть, например, функция постоянна и равна $1$. Берем только две точки: $f_0=1$ и $f_1=1$. Какой будет интеграл? Интеграл здесь равен $x_1-x_0=h$, потому что площадь прямоугольника — это высота $1$ на ширину.

Alexeybk5 в сообщении #823889 писал(а):

Скажите пожалуйста, если экспериментально, значения $x_i$ следующие
$x_0=543 нанометра , x_1 = 544,x_2 = 545,\dots x_17= 560 нанометров$, то разве шаг не должен быть h=1 ?

Да. Теперь известно, что шаг точно равен $1$. Точнее, $1$ нм.
Смотрите: $x_i=x_0+ih$. Чтобы получилось совпадение с Вашими $x_i$, надо взять $x_0=543, h=1$, и получится $x_i=543+i\cdot 1=543+i$.
А пока Вы не сообщили реальные значения $x_i$, я о шаге мог строить любые предположения.

$x_{17}$ пишется так: $x_{17}$

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823895 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #823889 писал(а):

Ну в таком случае, значение площади/интеграла вообще может каким угодно большим/или малым, в зависимости от шага...

Да, конечно! Пусть, например, функция постоянна и равна $1$. Берем только две точки: $f_0=1$ и $f_1=1$. Какой будет интеграл? Интеграл здесь равен $x_1-x_0=h$, потому что площадь прямоугольника — это высота $1$ на ширину.

Alexeybk5 в сообщении #823889 писал(а):

Скажите пожалуйста, если экспериментально, значения $x_i$ следующие
$x_0=543 нанометра , x_1 = 544,x_2 = 545,\dots x_17= 560 нанометров$, то разве шаг не должен быть h=1 ?

Да. Теперь известно, что шаг точно равен $1$. Точнее, $1$ нм.
Смотрите: $x_i=x_0+ih$. Чтобы получилось совпадение с Вашими $x_i$, надо взять $x_0=543, h=1$, и получится $x_i=543+i\cdot 1=543+i$.
А пока Вы не сообщили реальные значения $x_i$, я о шаге мог строить любые предположения.

$x_{17}$ пишется так: $x_{17}$

Да, Вы правы, спасибо.

В таком случае, можно подвести итог, что товарищ химик скорее всего совершил ошибку в подсчёте площади/интеграла ?

и что при шаге в 1 нанометр, значение площади/интеграла в этом случае получается 7,803 ?

[svv]

Alexeybk5 в сообщении #823889 писал(а):

Ну в таком случае, значение площади/интеграла вообще может каким угодно большим/или малым, в зависимости от шага...

В то же время, в типичной ситуации, когда $x_{\min} и $x_{\max}$ заданы, чем меньше шаг, тем больше значений $f_i$, так что интеграл при $n\to \infty$ стремится к пределу. Я говорил только о Вашей ситуации, когда $n$ известно, а $h$ нет.

-- Пт фев 07, 2014 19:31:55 --

Alexeybk5 в сообщении #823898 писал(а):

В таком случае, можно подвести итог, что товарищ химик скорее всего совершил ошибку в подсчёте площади/интеграла ?

и что при шаге в 1 нанометр, значение площади/интеграла в этом случае получается 7,803 ?

Уважаемый химик ошибся (если не имел в виду что-то другое).
Как получилось Ваше значение? У меня чуть больше.

$0.504/2+0.500+0.497+0.496+0.496+0.497+0.499+0.500+0.500+0.498+0.495+0.490+0.484+0.476+0.468+0.458+0.449+0.439/2=8.2745$

$0.504+0.500+0.497+0.496+0.496+0.497+0.499+0.500+0.500+0.498+0.495+0.490+0.484+0.476+0.468+0.458+0.449+0.439-\frac{0.504+0.439}{2}=8.2745$

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823901 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #823889 писал(а):

Ну в таком случае, значение площади/интеграла вообще может каким угодно большим/или малым, в зависимости от шага...

В то же время, в типичной ситуации, когда $x_{\min} и $x_{\max}$ заданы, чем меньше шаг, тем больше значений $f_i$, так что интеграл при $n\to \infty$ стремится к пределу. Я говорил только о Вашей ситуации, когда $n$ известно, а $h$ нет.

-- Пт фев 07, 2014 19:31:55 --

Alexeybk5 в сообщении #823898 писал(а):

В таком случае, можно подвести итог, что товарищ химик скорее всего совершил ошибку в подсчёте площади/интеграла ?

и что при шаге в 1 нанометр, значение площади/интеграла в этом случае получается 7,803 ?

Уважаемый химик ошибся (если не имел в виду что-то другое).
Как получилось Ваше значение? У меня чуть больше.

$0.504/2+0.500+0.497+0.496+0.496+0.497+0.499+0.500+0.500+0.498+0.495+0.490+0.484+0.476+0.468+0.458+0.449+0.439/2=8.2745$

$0.504+0.500+0.497+0.496+0.496+0.497+0.499+0.500+0.500+0.498+0.495+0.490+0.484+0.476+0.468+0.458+0.449+0.439-\frac{0.504+0.439}{2}=8.2745$

Вы полностью правы, тут уже ошибся я, забыл поделить на 2

Но в принципе, если задача заключалась в нахождении интеграла / площадь под параболой, то он вряд ли мог иметь что-то другое, разве не так ?

[svv]

Если бы в каком-то другом опыте те же $18$ экспериментальных значений соответствовали длинам волн $545, 550, 555, 560,..., 625, 630$ (почему нет?), то интеграл был бы в $5$ раз больше ($=41.3725$), так как при данном $n=17$ шаг $h=5$. Это Ваш график, построенный по точкам, а потом растянутый в $5$ раз по ширине, соответственно площадь будет в $5$ раз больше.

[ИСН]

(Оффтоп)

Вспомнился недавний случай, когда какой-то медик независимо открыл метод трапеций, опубликовал в профильном журнале и обрёл славу.

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823933 писал(а):

Если бы в каком-то другом опыте те же $18$ экспериментальных значений соответствовали длинам волн $545, 550, 555, 560,..., 625, 630$ (почему нет?), то интеграл был бы в $5$ раз больше ($=41.3725$), так как при данном $n=17$ шаг $h=5$. Это Ваш график, построенный по точкам, а потом растянутый в $5$ раз по ширине, соответственно площадь будет в $5$ раз больше.

Svv,да, но в этом конкретном эксперименте, рассматривается интервал волн с 543 до 560 с шагом в 1 нм ( альфа пика цитохрома), площадь интеграла должна быть 8,2745, ведь не может же метод трапеции давать настолько неправильный результат ?(у химика , напомню получилось 0,239)

ИСН, не слышал, а что это был за медик, и с чего это он математикой увлёкся) ?

[svv]

В этом — да.

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #823947 писал(а):

площадь интеграла должна быть

Площадь интеграла ничего никому не должна, и даже не обязана. Её просто не существует.

Слушайте, ребята, ну нельзя же так. Есть формула, и мы её или знаем -- или не знаем. В последнем случае (особенно как тут, когда мы её демонстративно даже и знать-то не хотим) -- разговор бессмыслен абсолютно.

[ИСН]

(Оффтоп)

дык
http://fliptomato.wordpress.com/2007/03 ... citations/

[Alexeybk5]

ewert в сообщении #823956 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #823947 писал(а):

площадь интеграла должна быть

Площадь интеграла ничего никому не должна, и даже не обязана. Её просто не существует.

Слушайте, ребята, ну нельзя же так. Есть формула, и мы её или знаем -- или не знаем. В последнем случае (особенно как тут, когда мы её демонстративно даже и знать-то не хотим) -- разговор бессмыслен абсолютно.

ewert, формулу как раз и хочу узнать. вот есть лист excel, где вычисляется площадь под графиком непонятным способом.
Вопрос заключался в том, существует ли такой способ численного интегрирования, либо человек, записавший эту формулу ошибся. Вот об этом и велась беседа.

svv, спасибо большое, вы мне очень помогли

ИСН, ну что сказать )) это забавно

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #823969 писал(а):

ewert, формулу как раз и хочу узнать.

Вам эту формулу тут уже не менее пятнадцати с половиной раз сообщили. И если Вы её так жаждете увидеть, категорически при этом отказываясь на неё смотреть -- ну, дело ясное.

[Alexeybk5]

ewert в сообщении #823982 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #823969 писал(а):

ewert, формулу как раз и хочу узнать.

Вам эту формулу тут уже не менее пятнадцати с половиной раз сообщили. И если Вы её так жаждете увидеть, категорически при этом отказываясь на неё смотреть -- ну, дело ясное.

Ваше замечание очень информативно, спасибо.



Товарищи, проведя дальнейший подсчёты, выяснилось, что метод трапеции подходит плохо.


Данные получены из титриметрического эксперимента.

(Оффтоп)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7

Имеется тридцать столбцов с данными
длина волны vs абсорбция

по сути каждый столбец/таблица является кривой (похожей на параболу),
на пером шаге,
значения X:
$x_0=543,x_1=544,x_2=545,\dots, x_{17}=560$ нанометров
и значения Absorvance ,
по Y $f(x_0)=0,504, f(x_1)=0.5, \dots ,f(x_{17} )=0.439 $
После получения этих данных, образец восстанавливается , получаем вторую таблицу с значениями
где по X, длина спектр тот же $x_0=543,x_1=544,x_2=545,\dots, x_{17}=560$ нанометров, но меняется значение поглощения волны

и так проделывается 10 раз, пока образец не становится максимально восстановленным, и начинаем, окислять образец. То, что образец является максимально восстановленным, на графике выражается в том, что соответствующая кривая (парабола) имеет наибольшую площадь под собой, по сравнению с остальными кривыми. Это должно быть теоретически, но в данном эксперименте паробола 10, получилась меньше, чем парабола 14.

т.е. значения интеграла в образце 10, должно быть больше (теоретически), чем в образце 11,12,13,14 ... 30 и тд,

т.е. на пике параболы , значения , в районе $f(x_9)$ , получены с погрешностью, поэтому график для 14, "выше" чем график для 10.
Может поэтому тот химик делал той формулой какую-то извращённую версию "линеаризации" ?

Т.е.

значения для X: $x_0=543,x_1=544,x_2=545,\dots, x_{17}=560$ нанометра

Данные для столбца 10 (значения $f(x_i)$ ), площадь подсчитанная методом трапеции получается 14,205

(Оффтоп)

0,489
0,549
0,625
0,715
0,814
0,913
1,004
1,075
1,115
1,119
1,084
1,013
0,913
0,794
0,668
0,545
0,433
0,337

для образца под номером 14 (значения $f(x_i)$), площадь полученная методом трапеции получается 14,838

(Оффтоп)

0,531
0,581
0,646
0,726
0,816
0,909
0,996
1,067
1,112
1,125
1,102
1,045
0,96
0,857
0,745
0,636
0,535
0,449

но методом,которым считал химик для образца 10, площадь, получается 6,771
а для образца 14, получается 6,018...

Т.е. получается, что метод трапеции подсчитывает площадь математически верно, но он не "подгоняет" эту площадь под условие, что в образце 14, она должна быть меньше чем в образце 10

что это за магия такая Ну или какой метод линеаризации он использовал ?

=СУММ(A1:A18)-9*(A1+A18)

[svv]

Alexeybk5
Вы хотите невозможного.
Вы знаете, что при заданных пределах $x_{\min}, x_{\max}$ разность интегралов равна интегралу разности? При любом понимании интеграла.

В данном случае разность интеграла для образца 14 и интеграла для образца 10 равна интегралу от разности соответствующих значений.
Найдем эти разности (т.е. значение для 14 минус соответствующее значение для 10):
$\begin{matrix}0.042\\0.032\\0.021\\0.011\\0.002\\-0.004\\-0.008\\-0.008\\-0.003\\0.006\\0.018\\0.032\\0.047\\0.063\\0.077\\0.091\\0.102\\0.112\end{matrix}$
А теперь честно-пречестно скажите: здесь преобладает вклад положительных чисел или отрицательных?
То-то, положительных.
То есть значения для 14 в целом (в любом разумном смысле этого слова) больше значений для 10, иначе преобладали бы отрицательные разности.
А это неминуемо означает, что при любом разумном способе интегрирования (подчеркиваю: интегрирования, а не чего-то другого) интеграл для 14 будет больше чем интеграл для 10.