Линейная регрессия

[tatkuz1990]

Много тоже нельзя - кривая пройдет через центры всех точек

[tatkuz1990]

Интересную таблицу дали: это относится к прицелу и дальности пролета. Гранатомет, одним словом. Текст малопонятный, но цифры очень интересные и подозрительно гладкие. Буду думать, как аппроксимировать. Кто хочет - присоединяйтесь. Если получится у меня, дам результат. Если же не получится - лапки кверху.

0 0
50 2
100 9
150 17
200 25
250 33
300 41
350 49
400 58
450 67
500 76
550 86
600 96
650 106
700 116
750 127
800 139
850 151
900 164
950 177
1000 191
1050 206
1100 221
1150 237
1200 254
1250 273
1300 292
1350 313
1400 335
1450 359
1500 386
1550 417
1600 453
1650 496
1700 557
1710 577
1720 604
1730 667

[ИСН]

И подбор точек, и само поведение кривой в окрестности правого края указывают на то, что он (сам край, вот это 1730) имеет какой-то фундаментальный смысл, и, возможно, должен присутствовать в формулах as is.
Ну-с, для начала, имею зависимость с двумя параметрами (кроме края), которая подгоняет точки с суммой квадратов отклонений, равной 676.
Кто меньше?

[tatkuz1990]

Меня тоже смутили крайние точки с обеих сторон. Функция очень нетипичная, нужно искать какую-то хитрость. У меня пока 176, но это все же очень много... Концы портят львиную середину. Точнее точки 2, 3, 37, 38.

[tatkuz1990]

Насчет точки 37 сказано было неправильно.
Если бы не было точек 2, 3,4, 35, 36, 38 , оставшиеся идеально бы аппроксимировались трехпараметрической кривой. А так - самый минимум суммы квадратов отклонений $\sum S^2=108.192$.
Думаю, что меньше получить в принципе невозможно.

[ИСН]

Имею кривую с двумя подгоночными параметрами (ещё туда входит 1730, так что её можно в каком-то смысле считать трёхпараметрической, но этот параметр не подгоночный), которая даёт сумму квадратов 74.6.

-- менее минуты назад --

Ну что, выкладываем формулы на стол?

[tatkuz1990]

Выкладываем, конечно.
Сначала расскажу, как удалось найти аппроксимацию.
Из всего банка уравнений (их сейчас у меня 263) ни одно даже близко не подошло. Хотелось уже лапки кверху. Но пришла такая неожиданная идея: рассмотреть все замечательные кривые: строфоиду, циссоиду Диокла, петлю декартова листа, верзьеру Аньези, конхоиду Никомеда, кардиоиду, линии Кассини, лемнискату Бернулли, архимедову спираль, логарифмическую спираль, циклоиды, эпициклоиды и гипоциклоиды, трактрису, цепную линию... Как ни сопоставлялись 38 точек - никак не удавалось найти подобие. Расчеты тоже били мимо.
Вздумалось спуститься на совсем уж элементарный уровень: приглянуться к параболе, гиперболе... И вдруг, словно ожег!:



моментально стало ясно - это нижний правый элемент эллипса. Дело техники заняло уже менее получаса. Уравнение такое

$y=a \bigg [\sqrt{b^2-c^2}-\sqrt{b^2-(x+c)^2} \bigg ]$

Расчет и коэффициенты осуществить было проще всего:

....x.......y.....yr.....(y-yr)^2
__________________________________
     0      0    0.000   0.00000
    50      2    6.346  18.88816
   100      9   12.952  15.61467
   150     17   19.824   7.97764
   200     25   26.974   3.89481
   250     33   34.408   1.98287
   300     41   42.139   1.29639
   350     49   50.176   1.38317
   400     58   58.533   0.28397
   450     67   67.222   0.04949
   500     76   76.260   0.06739
   550     86   85.661   0.11515
   600     96   95.444   0.30939
   650    106  105.629   0.13760
   700    116  116.239   0.05714
   750    127  127.299   0.08939
   800    139  138.837   0.02643
   850    151  150.887   0.01282
   900    164  163.484   0.26616
   950    177  176.672   0.10759
  1000    191  190.500   0.24998
  1050    206  205.026   0.94811
  1100    221  220.320   0.46285
  1150    237  236.463   0.28854
  1200    254  253.557   0.19668
  1250    273  271.726   1.62424
  1300    292  291.128   0.76057
  1350    313  311.969   1.06392
  1400    335  334.522   0.22861
  1450    359  359.170   0.02896
  1500    386  386.475   0.22556
  1550    417  417.324   0.10466
  1600    453  453.281   0.07874
  1650    496  497.664   2.76881
  1700    557  561.023  16.18482
  1710    577  579.509   6.29524
  1720    604  603.656   0.11855
  1730    667  662.101  24.00316
--------------------------------
..................... S2=108.192

a=0.226429
b=3336.2 
c=1606.2

Если же убрать явно ошибочные точки (6 штук) , то сумма квадратов отклонений будет всего $18.3767$ и параметры

$a=0.225185 \, ; \, b=3359.02 \, ; \, c=1629.19$

[tatkuz1990]

Теперь стало ясно коварство $x=1730$

На самом деле максимальное значение

$x_{max}=3359.02-1629.19=1729.83$

То есть в правой боковой "бульбе" эллипса ошибка всего $0.17$. Из-за нее впадаем в комплексную область.

[ИСН]

Моя версия:

$$y=0.121 x + 184.98\arcsin^2{x\over1730}$$

[Александрович]

Дисперсия остатков в модели эллипс - $3.18$, 3 сигма - $5.35$. Выпадающих (явно ошибочных) точек среди опытных данных нет.

[_Ivana]

Идеи с эллипсами для гранатометов витают в воздухе - ссылка на подобную тему на форуме mathhelpplanet, где военный человек спрашивает вариант аппроксимации кривой, а грамотный участник форума находит оптимальное решение

ЗЫ пригляделся - а там и исходные данные такие же АГС-17, к бабке не ходи. ТС, надеюсь, вы на той же стороне воюете, что и автор вопроса по ссылке.

[tatkuz1990]

_Ivana!

(Оффтоп)

Это мои исследования и были. Однако, полученные тогда формулы меня сегодня не устроили, так как они давали сумму отклонений 176. Здесь я решил добиться именно минимума и провел аппроксимацию более грамотно. Чего тут зазорного? Я все честно сказал.

[_Ivana]

Евгений Машеров в сообщении #822247 писал(а):

У меня такое ощущение,

что где-то все это я уже видел... И Монте-Карло (ссылка на статью про аппроксимацию для самых маленьких с примерами из личного блога одного лично мне симпатичного человека), и

Александрович в сообщении #821462 писал(а):

МНК это прошлый век, а по МНМ тоже хорошо получается.

(цитата с другого форума)

Talanov писал(а):

Avgust писал(а):

В основе - конечно же, метод наименьших квадратов.

Прошлый век. С появлением компьютеров это вообще моветон. Вы никогда не проверяете регрессионные остатки на отсутствие Гауссовских помех. И всякий раз ложаетесь. Давно уже следует искать регрессию по МНМ.

[tatkuz1990]

(Оффтоп)

Давайте лучше меньше букв, а лучшие решения. Тут математика, а не упражнения в словесность. Где Ваши аппроксимации?

[ИСН]

Ну что. По-моему, неплохая забава. Давайте кто-нибудь ещё какой-нибудь ряд.