Метод конечных объёмов

[cool.phenon]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Помогите, пожалуйста, разобраться с одним вопросом, связанным с методом конечных объёмов, а именно, нахождению потоков в случае сферической сетки.
Сетка такова, что дискретизованы были $r,\varphi,\psi$, поэтому элементарной ячейкой (кроме ячеек у оси $\psi =0$) является шестигранник, рисунок приведен (но обозначения другие)

Вершины шестигранника лежат в точках $(r_{i\pm 1/2},\varphi_{j\pm 1/2},\psi_{k\pm 1/2})$, а в центре $(r_i,\varphi_{j},\psi_{k})$.
Вопрос: как находить правильно значение аппроксимируемой функции в узлах с координатами $(r_{i\pm 1/2},\varphi_{j},\psi_{k})$,$(r_{i},\varphi_{j\pm 1/2},\psi_{k})$,$(r_{i},\varphi_{j},\psi_{k\pm 1/2})$? В случае с прямоугольной сеткой ответ известен : это будет полусумма значений в центрах соседних ячеек, но в случае сферической сетки такая аппроксимация будет очень грубой. Подскажите, что в этом случае делать?

[Sender]

Какая точность аппроксимации у вас получается сейчас, и какой вы хотите добиться?

[cool.phenon]

Sender
Уже на 1 шаге точность во 2-3 знаке при равномерном разбиении сетки $N=21$. У меня была мысль пользоваться WENO-интерполяцией (там точность 5-6 знак, примерно такой точности хотелось бы добиться), но специалист по этой теме утверждает, что такие методы используются в гиперболических уравнениях, а моё уравнение -- параболическое, и в моём случае WENO может вызвать очень большие осцилляции. Мне нужно воспользоваться методом усреднения (нечто подобное тому, когда получали значение на грани как полусумму в одномерном случае, но с учётом метрических коэффициентов сферических координат), но этого метода я не нашёл ни в одном источнике. Возможно, вы знакомы с этим методом или же сможете посоветовать источник, где объясняется такой подход?

[Sender]

Боюсь, что могу поделиться только своими дилетантскими соображениями. Поскольку по сути вы имеете дело с равномерной прямоугольной сеткой в координатах $r,\phi,\psi$, нахождение значения функции в центре грани ячейки разбиения как полусуммы её значений в центрах соседних ячеек даст вам тот же второй порядок аппроксимации по соответствующей координате, что и в классическом одномерном случае. У вас точно нет ошибок при приведении дифференциальных операторов к сферическим координатам?

[cool.phenon]

Нет, точно нету. Мне сказали, что я могу найти этот усредняющий подход в книге Беляева, Рядно "Методы теории теплопроводности" , но там рассмотрен случай 1D и никаких метрических коэффициентов я там не нашёл