Помогите найти интегралы движения для функции Лагранжа

[AHOHbIMHO]

Dolopihtis писал(а):

Ну, насколько я знаю , в теории поля есть еще понятие внутренних симметрий. Для этого нужно найти матричную группу, которая преобразовывает вектор (x y z w) в себя , при этом лагранжиан должен быть инвариантным относительно этой группы. Тогда из теоремы Нетер получится еще одна сохраняющаяся величина. (заряд). Но для Вашего лагранжиана найти такую группу наверно очень сложно, если вообще возможно.

На самом деле есть там калибровочная симметрия, и выражения для тока есть. Но опять же, как только я предполагаю стационарность и центрально-симметричность, уравнение непрерывности становится тривиальным. Судите сами имеем $\partial_\mu J^\mu=0$, а после вышесказанного предположения получаем $J^0=J^0(r),J^1=J^2=J^3=0$ и уравнение непрерывности тривиально. На самом деле меня нитересует интеграл движения именно как независимость от r. Не зря я r обозначил как t. Т.е. нужно найти некоторую функцию от $t,x,y,z,w,\dot x,\dot y, \dot z$, полная производная которой по t (который на самом деле есть радиус) равна нулю.

[LynxGAV]

АНОНЫМНО, у меня к Вам вопрос. В "Теории поля" ЛЛ момент импульса выводится из рассмотрения действия как функции координат. Я так подумала сейчас, это ж "завуалированная" теорема Нётер? С пространственноподобными гиперповерхностями это уже обобщение в релятивистской теории поля, а так она попроще.

Кустарно (для себя) сформулировала т. Нётер в таких случаях .

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

АНОНЫМНО, у меня к Вам вопрос. В "Теории поля" ЛЛ момент импульса выводится из рассмотрения действия как функции координат. Я так подумала сейчас, это ж "завуалированная" теорема Нётер? С пространственноподобными гиперповерхностями это уже обобщение в релятивистской теории поля, а так она попроще.

Кустарно (для себя) сформулировала т. Нётер в таких случаях .

Так и есть, и энергия-импульс, и момент импульс - следствие т. Нётер. См. Л. Райдер, "Квантовая теория поля", параграф 3.2.

[AHOHbIMHO]

После некоторых выкладок (после исключения w(t)) , получился следующий гамильтониан

$$H(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)=\left(-4-2\,{t}^{2}{z}^{2}\left ({\frac {t{a}^{2}{y}^{2}}{x}}-{b}^{2 }\right )+1/2\,{\frac {{{\it p_{y}}}^{2}}{{t}^{2}}}-1/2\,{\frac {{{\it p_{z} }}^{2}}{tx}}\right){{\it p_{x}}}^{-1}$$

Как можно пошаманить (что-то типа канонического преобразования сделать), чтобы получить хоть какой-нибудь интеграл движения? Есть какие-нибудь идеи?

Да, кстати, соответствующий Лагранжиан:

$$L=2\,\sqrt {\left (2\,{\dot x}+{t}^{2}{{\dot y}}^{2}-tx{{ \dot z}}^{2}\right )\left (2+{t}^{2}{z}^{2}\left ({\frac {t{a}^{2}{y }^{2}}{x}}-{b}^{2}\right )\right )}$$

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Так и есть, и энергия-импульс, и момент импульс - следствие т. Нётер. См. Л. Райдер, "Квантовая теория поля", параграф 3.2.

В том то и дело, что т. Нётер во временном отношении вводилась позже (в курсе КЭД, а не ЭД), а вот Ландау об этом - молчок, мог бы хотя бы сноску сделать для студентов второго курса.

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Так и есть, и энергия-импульс, и момент импульс - следствие т. Нётер. См. Л. Райдер, "Квантовая теория поля", параграф 3.2.

В том то и дело, что т. Нётер во временном отношении вводилась позже (в курсе КЭД, а не ЭД), а вот Ландау об этом - молчок, мог бы хотя бы сноску сделать для студентов второго курса.

Я вообще не видел формулировку т. Нётер во временном отношении в виде этой:

Если $\delta(L(t,q^i(t),\dot q^i(t))dt)=0$ при $\delta t=T_a(t)\omega^a,\delta q^i(t)=Q^i_a(t)\omega^a-\dot q^i(t) T_a(t)\omega^a$, то $$ \frac {dI_a} {dt}=0,$$ где $I_a=\frac {\partial L}{\partial \dot q^i}Q^i_a-H T_a, H=\frac {\partial L}{\partial \dot q^i}\dot q^i-L$

Это я сам теорему сформулировал.

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Как можно пошаманить (что-то типа канонического преобразования сделать), чтобы получить хоть какой-нибудь интеграл движения? Есть какие-нибудь идеи?

Вы что надеетесь, что перейдя к новым координатам, удастся легко найти хоть какой-то интеграл движения? (для такого-то гамильтониана)

Вообще откуда эта задача можно поинтересоваться? Это ж не университетская. Вы просто так "упражняетесь" или как это называется?

PS И правило получения канонических преобразований известно - через производящую функцию (а вот какую) и тут нет каких-то недомолвок как с т. Нётер.

[Аурелиано Буэндиа]

AHOHbIMHO писал(а):

После некоторых выкладок (после исключения w(t)) , получился следующий гамильтониан

$$H(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)=\left(-4-2\,{t}^{2}{z}^{2}\left ({\frac {t{a}^{2}{y}^{2}}{x}}-{b}^{2 }\right )+1/2\,{\frac {{{\it p_{y}}}^{2}}{{t}^{2}}}-1/2\,{\frac {{{\it p_{z} }}^{2}}{tx}}\right){{\it p_{x}}}^{-1} $$

Как можно пошаманить (что-то типа канонического преобразования сделать), чтобы получить хоть какой-нибудь интеграл движения? Есть какие-нибудь идеи?

Дикий надо сказать у вас гамильтониан. А в исходной задаче были какие-нибудь симметрии? Вы их все учли?

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

Вы что надеетесь, что перейдя к новым координатам, удастся легко найти хоть какой-то интеграл движения? (для такого-то гамильтониана)

Да, надеюсь.

LynxGAV писал(а):

Вообще откуда эта задача можно поинтересоваться? Это ж не университетская. Вы просто так "упражняетесь" или как это называется?

Да так, балуюсь . Что значит "университеская"? В смысле студенческая? А тут только студенты тусуются? Т.е. выпускникам физфака МГУ тут нечего делать?

LynxGAV писал(а):

PS И правило получения канонических преобразований известно - через производящую функцию (а вот какую) и тут нет каких-то недомолвок как с т. Нётер.

В том то и дело, что найти эту производящую функцию не легко.

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Да так, балуюсь . Что значит "университеская"? В смысле студенческая? А тут только студенты тусуются? Т.е. выпускникам физфака МГУ тут нечего делать?

Да, под университетской я подразумевала студенческую. "Тусуются" не только студенты, но основной контингент составляют именно они (надо что-то срочно решить). Я вот даже свои некоторые вопросы побаиваюсь выносить на обсуждение - слишком узкоспециальные со своей терминологией.

Думаю, как при таком "чаморошном" гамильтониане надумать производящую функцию... И если уж переходить, то сразу так, чтобы одна координата была циклической.

PS И не плачьте. Я тоже уже выпустилась .

ИНФОРМАЦИЯ ПО Т.НЁТЕР:
С точки зрения аналитической механики:
Добронравов В.В. — Основы аналитической механики
Полевая трактовка:
Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. — Введение в теорию квантованных полей
Из сети:
http://www.answers.com/topic/noether
http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm
http://www.emmynoether.com/

[AHOHbIMHO]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Дикий надо сказать у вас гамильтониан. А в исходной задаче были какие-нибудь симметрии? Вы их все учли?

Гамильтониан жуткий. Правда я знаю одно частное нетривиальное решение (попозже напишу). Кстати, это может как-нибудь помочь найти интеграл движения? А симметрии в исходной задаче я все учел.

[Аурелиано Буэндиа]

AHOHbIMHO писал(а):

Гамильтониан жуткий. Правда я знаю одно частное нетривиальное решение (попозже напишу). Кстати, это может как-нибудь помочь найти интеграл движения?

Врятли. Уравнения нелинейные!
Дальнейшее упрощение вашей задачи (через физические приближения) возможно?

Но частное решение напишите (ради интереса)

[AHOHbIMHO]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Гамильтониан жуткий. Правда я знаю одно частное нетривиальное решение (попозже напишу). Кстати, это может как-нибудь помочь найти интеграл движения?

Врятли. Уравнения нелинейные!
Дальнейшее упрощение вашей задачи (через физические приближения) возможно?

Но частное решение напишите (ради интереса)

Вот частное решение:

$$x=t+{\frac {1}{2}}{\frac {{C_1}^{2}}{t}}+{C_{3}}$$ $$y=\frac {C_{1}}{t}+C_{2}$$ $$z=0$$ $$p_{x}=2$$ $$p_{y}=-2 C_{1}$$ $$p_{z}=0$$

[AHOHbIMHO]

Вот посмотрел я на частное решение, и пришла такая мысль. Может быть сделать следующую замену?

$$u=x-t-{\frac {1}{8 t}}p_{y}^2$$ $$v=y+\frac {p_{y}}{2 t}$$

[Аурелиано Буэндиа]

Dolopihtis писал(а):

Ну, насколько я знаю , в теории поля есть еще понятие внутренних симметрий. Для этого нужно найти матричную группу, которая преобразовывает вектор (x y z w) в себя , при этом лагранжиан должен быть инвариантным относительно этой группы. Тогда из теоремы Нетер получится еще одна сохраняющаяся величина. (заряд). Но для Вашего лагранжиана найти такую группу наверно очень сложно, если вообще возможно.

Вообще не факт, что симметрии есть. Надежды мало. Система дикая. AHOHbIMHO, но допустим Вы найдете один жуткий интеграл $f(x,p_x,y,p_y,...)$ и что дальше. Как Вы себе это представляете?