Нахождение асимптот в полярной системе координат

[Ssheh]

Здравствуйте. Пришел просить помощи в нахождении асимптот к графику заданному в полярной системе координат:

$r=\frac{1}\sqrt {\sin 3 a}$

(рассматривая на промежутке (0;$\frac{\pi}{3}$) т.к периодическая

Пробовал перевести в параметрическую форму, вот , что получилось:

$x=\frac{\cos a}\sqrt{\sin3a}$ , $y=\frac{\sin a}\sqrt{\sin3a}$

Далее брал производную от каждой параметрической функции:

$y'=\frac{5\sin 2a - \sin 4a}{4\sqrt{\sin^3 3a}}$
(все производные, параметрические формы найдены верно(перепроверено много раз))
$x'=-\frac{5\cos 2a - \cos 4a}{4\sqrt{\sin^3 3a}}$

После рассматривал пределы в точках :
$\lim_{a\to0+0}{\frac{\cos a}\sqrt{\sin3a}}={\inf}$
$\lim_{a\to0-0}{\frac{\cos a}\sqrt{\sin3a}}$(не существует)
$\lim_{a\to\frac{\pi}{3}+0}{\frac{\cos a}\sqrt{\sin3a}}={\inf}$
$\lim_{a\to\frac{\pi}{3}-0}{\frac{\cos a}\sqrt{\sin3a}}$(не существует)
$\lim_{a\to0+0}{\frac{\sin a}\sqrt{\sin3a}}=0$
$\lim_{a\to0-0}{\frac{\sin a}\sqrt{\sin3a}}=0$
$\lim_{a\to\frac{\pi}{3}+0}{\frac{\sin a}\sqrt{\sin3a}}={\inf}$
$\lim_{a\to \frac{\pi}{3}-0}{\frac{\sin a}\sqrt{\sin3a}}=-{\inf}$,
и точка при ${5\cos 2a - \cos 4a}=0$(там тоже ничего не натолкнуло на асимптоту).

У графика должны быть три асимптоты 2 из которых наклонные.

В итоге, я прошу помощи разобраться с этим заданием. Если есть какой-нибудь способ искать асимптоту на прямую через полярную систему, прошу пожалуйста рассказать о нем, если их все-таки надо искать через параметрическую форму прошу пожалуйста сказать, что я делаю не так.

[provincialka]

Уже второй человек для отыскания асимптот берет производные. Зачем? Где в определении и методах построения они нужны?

[ИСН]

Это что за пределы Вы рассматриваете, и зачем?

[svv]

Ssheh в сообщении #822494 писал(а):

Если есть какой-нибудь способ искать асимптоту на прямую через полярную систему, прошу пожалуйста рассказать о нем

Да, есть способ искать асимптоты прямо в полярной системе координат. Имхо, он даже проще того, что используется в декартовой. Во всяком случае, он единообразнее. Найдите его где-нибудь по ключевым словам «асимптоты полярные координаты» и примените.

[Ssheh]

provincialka в сообщении #822512 писал(а):

Уже второй человек для отыскания асимптот берет производные. Зачем? Где в определении и методах построения они нужны?

Просто, как я понял в параметрической форме надо отталкиваться от корней производной, т.е найти производную, найти все характерные точки(где не определена и где равна 0) и искать предел от изначального уравнения при а-> к характерным точкам

ИСН в сообщении #822557 писал(а):

Это что за пределы Вы рассматриваете, и зачем?

Рассматриваю, где предел от х или у стремится к бесконечности, чтобы найти асимптоты

svv в сообщении #822790 писал(а):

Да, есть способ искать асимптоты прямо в полярной системе координат. Имхо, он даже проще того, что используется в декартовой. Во всяком случае, он единообразнее. Найдите его где-нибудь по ключевым словам «асимптоты полярные координаты» и примените.

Не могли бы вы мне пожалуйста помочь разобраться с этим способом? Я посмотрел на похожих темах и в гугле и все привело меня к этой ссылке : http://www.rusnauka.com/21_NNP_2010/Mat ... 73.doc.htm

Что же, по порядку : k=0(в 0), $b = \lim_{a\to0-0}\frac{sina}{\sqrt{\sin 3a}}=0$ следовательно $r=\frac{0}{sina}$ =>ничего не дало. Далее $\lim_{a\to \pi/3-0}\frac{1}{\sqrt{\sin 3a}}=\inf$, $k = \lim_{a\to\pi/3-0}\frac{sina}{\sqrt{\sin 3a}}=\sqrt{3}$, $b = \lim_{a\to\pi/3-0}\frac{sina}{\sqrt{\sin 3a}} - \frac{\sqrt{3} cosa}{\sqrt{\sin 3a}}= 0$ => ур-е касательной $y=\sqrt{3}x$ , что по построению видно не является правдой => вместо 3-х асимптот я имею 1 и то неправильную => Либо я что-то делаю неверно, либо так найти асимптоту нельзя.

Вот график, синем показана линия $y=\sqrt{3}x$ , все остальное собственно график , который должен получится:

http://hkar.ru/phCF

[svv]

Ssheh
Я обозначаю полярный угол $\varphi$, это стандартное обозначение, желательно, чтобы и Вы тоже.

Переберите в Интернете 10-20-30 ссылок (возможно, англоязычных), но найдите примерно такой способ.

1) Найти значения $\varphi=\varphi_a$, при которых (возможно, односторонний) предел
$\lim\limits_{\varphi\to\varphi_a}r(\varphi)=\infty$

2) Если этот предел бесконечный, выяснить, существует ли конечный (возможно, односторонний) предел
$\lim\limits_{t\to 0}t\;r(\varphi_a+t)=p$

3) Если да, то ...

Когда найдете, постарайтесь проделать, а не получится — будем разбираться.

[Ssheh]

svv в сообщении #823097 писал(а):

Ssheh
Я обозначаю полярный угол $\varphi$, это стандартное обозначение, желательно, чтобы и Вы тоже.

Переберите в Интернете 10-20-30 ссылок (возможно, англоязычных), но найдите примерно такой способ.

1) Найти значения $\varphi=\varphi_a$, при которых (возможно, односторонний) предел
$\lim\limits_{\varphi\to\varphi_a}r(\varphi)=\infty$

2) Если этот предел бесконечный, выяснить, существует ли конечный (возможно, односторонний) предел
$\lim\limits_{t\to 0}t\;r(\varphi_a+t)=p$

3) Если да, то ...

Когда найдете, постарайтесь проделать, а не получится — будем разбираться.

Спасибо вам большое за то, что вы не оставляете мою проблему без внимания, но я по-моему в обоих сообщениях указал такие пределы, где при $\varphi=\varphi_a$ выполняется: $\lim\limits_{\varphi\to\varphi_a}r(\varphi)=\infty$, таковыми являются $\varphi=0+0$ и $\varphi=\pi/3-0$ , а дальше видимо что-то делал не так в обоих случаях.

Я попробовал найти информацию на зарубежных форумах, но , к сожалению, ничего способного мне помочь не нашел. Была одна ссылка с похожим методом, как у вас, но они ничего не объясняют( также, как и вы). Пожалуйста во-1, разъясните, что такое 't', и пожалуйста представьте, если это возможно целый алгоритм поиска асимптоты в полярных координатах.

[svv]

Ssheh в сообщении #823157 писал(а):

Пожалуйста во-1, разъясните, что такое 't'

Независимая переменная. Она необходима для того, чтобы образовать выражение, предел которого даст нужную величину при $t\to 0$. Её можно назвать как-то иначе, например, $\varepsilon$.
Геометрический смысл $t$ — разность между полярным углом $\varphi$ и тем его конкретным значением $\varphi_a$, при котором $r$ стремится к $\infty$. Т.е. $t=\varphi-\varphi_a$, или $\varphi=\varphi_a+t$.

Ssheh в сообщении #823157 писал(а):

представьте, если это возможно целый алгоритм поиска асимптоты в полярных координатах.

Дальше только этап
3) Если да, то $r\sin(\varphi-\varphi_a)=p$ будет уравнением асимптоты в полярных координатах.

Ssheh в сообщении #823157 писал(а):

таковыми являются $\varphi=0+0$ и $\varphi=\pi/3-0$ , а дальше видимо что-то делал не так в обоих случаях.

Да, правильно. Простите, что не заметил. Значит, первый этап выполнен. Теперь надо проверить, существуют ли пределы
$\lim\limits_{t\to +0}t\;r(0+t)$
$\lim\limits_{t\to -0}t\;r(\frac{\pi}3+t)$
и если да, чему они равны.
(Почему, например, во втором пределе $t\to -0$ ? Вы нашли, что $r$ стремится к бесконечности при $\varphi \to \varphi_a-0$, где $\varphi_a=\frac{\pi}3$, то есть $t=\varphi-\varphi_a\to -0$).

[Ssheh]

svv в сообщении #823206 писал(а):

Да, правильно. Простите, что не заметил. Значит, первый этап выполнен. Теперь надо проверить, существуют ли пределы
$\lim\limits_{t\to +0}t\;r(0+t)$
$\lim\limits_{t\to -0}t\;r(\frac{\pi}3+t)$
и если да, чему они равны.
(Почему, например, во втором пределе $t\to -0$ ? Вы нашли, что $r$ стремится к бесконечности при $\varphi \to \varphi_a-0$, где $\varphi_a=\frac{\pi}3$, то есть $t=\varphi-\varphi_a\to -0$).

Извините, но я не понимаю, как работать с t в данном случае и к чему в таком случае стремится ${\varphi}$ в $\lim\limits_{t\to +0}t\;r(0+t)$ (при r) и как вообще может получится конечный предел , если t -> 0.

svv в сообщении #823206 писал(а):

Дальше только этап
3) Если да, то $r\sin(\varphi-\varphi_a)=p$ будет уравнением асимптоты в полярных координатах.

И получается, что в уравнении асимптоты есть неизвестная ${\varphi}$ ?

Я спросил недавно у преподавателя, как можно найти асимптоту в полярных координатах и мне ответили, что если $\lim\limits_{{\varphi}\to{\varphi}_0}r=\infty$ , то ${\varphi_0}$ уже и есть угол, по которому проходит асимптота в полярных координатах, но единственное, что я не понял это, как в таком случае искать смещение?

[svv]

Вы меня расстраиваете...

Ssheh в сообщении #823981 писал(а):

как вообще может получится конечный предел , если t -> 0.

Представьте, что $t\to 0$, а $r(t)=\frac 1 t$ (ведь $r$ при некоторых углах стремится к бесконечности, а $t$ отклонение от одного из таких углов). Тогда $t\;r(t)=1$ при любом ненулевом $t$, а предел константы ей же и равен.

Ssheh в сообщении #823981 писал(а):

Извините, но я не понимаю, как работать с t в данном случае и к чему в таком случае стремится ${\varphi}$ в $\lim\limits_{t\to +0}t\;r(0+t)$ (при r)

На примере найденного угла $\varphi_a=\frac{\pi}3$. Итак, мы выяснили, что $\lim\limits_{\varphi\to\frac{\pi}3-0}r(\varphi)=\infty$ .
На втором этапе исследуем, существует ли предел $\lim\limits_{t\to -0}t\;r(\varphi_a+t)$.
Считая, что $t$ малое по модулю отрицательное число, имеем:

$$t\;r(\varphi_a+t)=\frac{t}{\sqrt{\sin 3(\frac{\pi}3+t)}}=\frac{t}{\sqrt{\sin(\pi+3t)}}=\frac{t}{\sqrt{-\sin 3t}}=\frac{t}{-\sin 3t}\sqrt{-\sin 3t}$$

При $t\to -0$ предел первого сомножителя равен $-\frac 1 3$, второго $0$, поэтому и
$\lim\limits_{t\to -0}t\;r(\varphi_a+t)=0$
Найденный предел и есть число $p$. Это смещение (вернее, модуль $p$ есть смещение).

Это уже означает, что асимптота существует. Остается в уравнение $r\sin(\varphi-\varphi_a)=p$ подставить $\varphi_a=\frac{\pi}3$ и $p=0$. Получаем
$r\sin(\varphi-\frac{\pi}3)=0$

Ssheh в сообщении #823981 писал(а):

И получается, что в уравнении асимптоты есть неизвестная ${\varphi}$ ?

Это не неизвестная, а независимая переменная, с помощью которой в полярных координатах записываются уравнения кривых $r=r(\varphi)$. Такая же, как в Вашем уравнении $r=\frac{1}{\sqrt{\sin 3\varphi}}$. Аналогичная независимой переменной $x$ в декартовых.

Найдем уравнение асимптоты в декартовых координатах. Раскроем синус разности:
$r\sin \varphi\cos\frac{\pi}3-r\cos\varphi\sin\frac{\pi}3=0$
Так как $r\cos\varphi=x, r\sin\varphi=y$, то
$y\cos\frac{\pi}3=x\sin\frac{\pi}3$
$y=x\tg\frac{\pi}3$

[Ssheh]

svv в сообщении #824009 писал(а):

Найдем уравнение асимптоты в декартовых координатах. Раскроем синус разности:
$r\sin \varphi\cos\frac{\pi}3-r\cos\varphi\sin\frac{\pi}3=0$
Так как $r\cos\varphi=x, r\sin\varphi=y$, то
$y\cos\frac{\pi}3=x\sin\frac{\pi}3$
$y=x\tg\frac{\pi}3$

Svv, Спасибо вам большое за то, что вы помогали мне в поиске этих асимптот. Да, действительно, получаются асимптоты $y=x\tg\frac{\pi}3$ ,$y=-x\tg\frac{\pi}3$,$y=0$. Дело в том, что график, который я присылал в предыдущих сообщениях был некорректен и не относился к данному уравнению, что и вызывало массу затруднений. И спасибо большое за то, что вы показали, как можно находить асимптоты напрямую через полярные координаты.

[svv]

Пожалуйста!