Кривая, полностью заполняющая квадрат

[venco]

Что-то я не могу понять, на каком основании, и при каких определениях можно утверждать, что, например, кривая Гильберта проходит через все точки квадрата.
К примеру, в какой момент она проходит через центр квадрата?
Хоть каждая итерация проходит всё ближе и ближе к центру, но никакая итерация через него не проходит.

[Chernoknizhnik]

Надо признаться, я не знаю, что такое кривая Гильберта (но знаю, что такое кривая Пеано:). Если Вы знаете, что образ построенного отображения плотен в квадрате, а само отображение непрерывно, то легко установить, что образ целиком заполняет квадрат: отрезок компактен, а образ компакта - также компактное множество и, в частности, замкнутое.

-- 04.02.2014, 01:25 --

Ух ты, это вроде бы одно и то же (я про кривые Гильберта и Пеано).

[Nemiroff]

venco в сообщении #822476 писал(а):

К примеру, в какой момент она проходит через центр квадрата?
Хоть каждая итерация проходит всё ближе и ближе к центру, но никакая итерация через него не проходит.

А зачем итерация? Итерация не проходит, кривая проходит. Даже несколько раз.

[venco]

Кажется, понял.
Моя проблема была в том, что я неправильно понимал предел. В частности, мне казалось, что предельная кривая проходит через каждую точку квадрата один раз. Но, хотя каждая итерация не самопересекающаяся, предельная кривая имеет бесконечное число самопересечений. Через центр квадрата кривая Гильберта проходит, похоже, три раза - во времена $\left\{\frac16,\frac12,\frac56\right\}$.

[g______d]

venco в сообщении #822491 писал(а):

Кажется, понял.
В частности, мне казалось, что предельная кривая проходит через каждую точку квадрата один раз.

Такого, кстати, не могло оказаться в принципе. Если непрерывное отображение двух компактов является биекцией, то обратное непрерывно; тогда бы получилось, что отрезок гомеоморфен квадрату.