Интегрирование системы уравнений в частных производных

[olevkcom]

Здравствуйте. Скажите, пожалуйста, каким численным методом следует интегрировать систему:

$$ \begin{cases} \partial_x n_e + \partial_y n_e = -16 n_e E,\\ \partial_x E + \partial_y E = 1 - ne, \\ n_e(0,y) = n0(y), n_e(x,0) = n0(x), \\ E(x,0) = E0(x), E(0,y) = E0(y). \end{cases} $$

в квадрате $[0, L] \times [0, L]$?

[Maik2013]

Может поможет Вам этот сайт
http://mathprofi.ru/formula_simpsona_metod_trapecij.html

[olevkcom]

Maik2013 в сообщении #822392 писал(а):

Может поможет Вам этот сайт
http://mathprofi.ru/formula_simpsona_metod_trapecij.html

Спасибо, а причём тут метод Симпсона, не понял :)

[Maik2013]

olevkcom
Не причем проста это страница открылся и все далее сам капаться

[Someone]

В учебнике по численным методам посмотрите разностные схемы для квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка.

[olevkcom]

Someone в сообщении #822419 писал(а):

В учебнике по численным методам посмотрите разностные схемы для квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка.

Подскажите, пожалуйста, такой учебник. В известных мне учебниках не нашёл.

[svv]

Задачу можно упростить заменой переменных $x=u-v,\; y=u+v$.
При этом $\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial u}$.

[olevkcom]

svv в сообщении #822422 писал(а):

Задачу можно упростить заменой переменных $x=u-v,\; y=u+v$.
При этом $\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial u}$.

Другими словами, предлагаете решать на характеристиках. Не вполне понимаю, где проявится преимущество,
ведь после замены, получим

$$ \begin{cases} \partial_u n_e(u-v, u+v) = -16 n_e(u-v, u+v) E(u-v, u+v), \\ \partial_u E(u-v, u+v) = 1 - n_e(u-v, u+v), \\ n_e(0, u+v) = n0(u+v),\quad n_e(0, u-v) = n0(u-v), E(0, u+v) = E0(u+v),\quad E(0, u-v) = E0(u-v), \end{cases} $$

а что с этим делать дальше? Как будет выглядеть сетка, не представляю?

[Someone]

olevkcom в сообщении #822421 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, такой учебник. В известных мне учебниках не нашёл.

Например:
Л. И. Турчак. Основы численных методов. Москва, "Наука", 1987.
Посмотрите главу 8, § 2.

[olevkcom]

Someone в сообщении #822427 писал(а):

olevkcom в сообщении #822421 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, такой учебник. В известных мне учебниках не нашёл.

Например:
Л. И. Турчак. Основы численных методов. Москва, "Наука", 1987.
Посмотрите главу 8, § 2.

Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).

Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?

[svv]

У Вас задача распадается на множество независимых задач для каждой линии $v=\operatorname{const}$. Каждая задача будет состоять в решении системы обыкновенных ДУ с начальными условиями.

Я буду для простоты вместо $n_e$ писать $n$, хорошо? Пусть
$\tilde n_v(u)=n(x(u,v), y(u,v))$
$\tilde E_v(u)=E(x(u,v), y(u,v))$
Тогда после перехода к новым переменным получаем задачу Коши
$\frac d{du}\tilde n_v(u)= -16 \tilde n_v(u) \tilde E_v(u)$
$\frac d{du}\tilde E_v(u) = 1 - \tilde n_v(u)$
с начальными условиями для $\tilde n_v$, $\tilde E_v$, заданными в точке $u=v$ (при $v>0$) или в точке $u=-v$ (при $v<0$).

Здесь $v$ становится просто параметром (независимой) задачи, в рамках этой задачи она постоянна, поэтому обозначена индексом (это не производная!), соответственно, производная по $u$ полная. Индекс $v$ для краткости можно не писать. От него зависят начальные условия, но не уравнения.

[olevkcom]

svv в сообщении #822434 писал(а):

У Вас задача распадается на множество независимых задач для каждой линии $v=\operatorname{const}$. Каждая задача будет состоять в решении системы обыкновенных ДУ с начальными условиями.

Я буду для простоты вместо $n_e$ писать $n$, хорошо? Пусть
$\tilde n_v(u)=n(x(u,v), y(u,v))$
$\tilde E_v(u)=E(x(u,v), y(u,v))$
Тогда после перехода к новым переменным получаем задачу Коши
$\frac d{du}\tilde n_v(u)= -16 \tilde n_v(u) \tilde E_v(u)$
$\frac d{du}\tilde E_v(u) = 1 - \tilde n_v(u)$
с начальными условиями для $\tilde n_v$, $\tilde E_v$, заданными в точке $u=v$ (при $v>0$) или в точке $u=-v$ (при $v<0$).

Здесь $v$ становится просто параметром (независимой) задачи, в рамках этой задачи она постоянна, поэтому обозначена индексом (это не производная!), соответственно, производная по $u$ полная. Индекс $v$ для краткости можно не писать. От него зависят начальные условия, но не уравнения.

Спасибо. Идея ясна. Детали требуют осмысления. Надо вспоминать материал :)

Кстати, а Вы бы не стали вводить прямоугольную сетку
и решать нелинейную систему методом Ньютона?

[Someone]

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):

Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).

Очень странно. В моём экземпляре этот параграф называется "Уравнения первого порядка", и в нём пункты:
1. Линейное уравнение переноса.
2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения.
3. Консервативные схемы.
4. Системы уравнений. Характеристики.

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):

Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?

А какая проблема с этой нелинейностью?

-- Пн фев 03, 2014 22:05:18 --

Ссылка на электронную версию: http://by-chgu.ru/media/matem/turchak1.djvu

[olevkcom]

Someone в сообщении #822456 писал(а):

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):

Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).

Очень странно. В моём экземпляре этот параграф называется "Уравнения первого порядка", и в нём пункты:
1. Линейное уравнение переноса.
2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения.
3. Консервативные схемы.
4. Системы уравнений. Характеристики.

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):

Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?

А какая проблема с этой нелинейностью?

-- Пн фев 03, 2014 22:05:18 --

Ссылка на электронную версию: http://by-chgu.ru/media/matem/turchak1.djvu

Спасибо за ссылку. Несоответствия нет.
Рассказал, как понимаю этот параграф, и по-моему, то, что там написано
напрямую применить нельзя к записанной выше системе.
Либо, я чего-то недопонял.

[olevkcom]

olevkcom в сообщении #822552 писал(а):

Someone в сообщении #822456 писал(а):

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):

Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).

Очень странно. В моём экземпляре этот параграф называется "Уравнения первого порядка", и в нём пункты:
1. Линейное уравнение переноса.
2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения.
3. Консервативные схемы.
4. Системы уравнений. Характеристики.

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):

Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?

А какая проблема с этой нелинейностью?

-- Пн фев 03, 2014 22:05:18 --

Ссылка на электронную версию: http://by-chgu.ru/media/matem/turchak1.djvu

Спасибо за ссылку. Несоответствия нет.
Рассказал, как понимаю этот параграф, и по-моему, то, что там написано
напрямую применить нельзя к записанной выше системе.
Либо, я чего-то недопонял.

Беру свои слова обратно, недопонял.
Схема левый уголок, после приведения подобных даёт явные выражения
для расчёта:
$ \begin{equation*} \begin{cases} n_i^{j+1} &= n_{i-1}^{j} - 16 h n_{i-1}^j E_{i-1}^j, \\ E_i^{j+1} &= E_{i-1}^{j} + h (1 - n_{i-1}^j), \end{cases} \end{equation*} $
здесь $(i,\,j) -$ индексы координаты узла по осям $Oy,\,Ox$, соответственно.

Результаты расчёта в нижнем ряду. Верхний ряд - начальные распределения.


Вопрос 2.
А как решать векторную систему, в общем случае
$ \begin{equation*} \begin{cases} \operatorname{\nabla}{n} = -8 n \mathbf{E}, \\ \operatorname{\nabla}\cdot{\mathbf{E}} = 1 - n, \end{cases} \end{equation*} $
или, учитывая $\mathbf{E}= \{E_1,\,E_2\}$, скалярную систему:
$ \begin{equation*} \begin{cases} \partial_x n = -8 n E_1, \\ \partial_y n = -8 n E_2, \\ \partial_x E_1 + \partial_y E_2 = 1 - n? \end{cases} \end{equation*} $