2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение03.02.2014, 13:42 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Скажите, пожалуйста, каким численным методом следует интегрировать систему:
$$
\begin{cases}
\partial_x n_e + \partial_y n_e = -16 n_e E,\\
\partial_x E + \partial_y E = 1 - ne, \\
n_e(0,y) = n0(y), n_e(x,0) = n0(x), \\
E(x,0) = E0(x), E(0,y) = E0(y).
\end{cases}
$$
в квадрате $[0, L] \times [0, L]$?

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 17:24 
Аватара пользователя
Может поможет Вам этот сайт
http://mathprofi.ru/formula_simpsona_metod_trapecij.html

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 18:54 
Аватара пользователя
Maik2013 в сообщении #822392 писал(а):
Может поможет Вам этот сайт
http://mathprofi.ru/formula_simpsona_metod_trapecij.html

Спасибо, а причём тут метод Симпсона, не понял :)

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:12 
Аватара пользователя
olevkcom
Не причем проста это страница открылся и все далее сам капаться

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:15 
Аватара пользователя
В учебнике по численным методам посмотрите разностные схемы для квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка.

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:17 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #822419 писал(а):
В учебнике по численным методам посмотрите разностные схемы для квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка.

Подскажите, пожалуйста, такой учебник. В известных мне учебниках не нашёл.

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:18 
Аватара пользователя
Задачу можно упростить заменой переменных $x=u-v,\; y=u+v$.
При этом $\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial u}$.

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:31 
Аватара пользователя
svv в сообщении #822422 писал(а):
Задачу можно упростить заменой переменных $x=u-v,\; y=u+v$.
При этом $\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial u}$.

Другими словами, предлагаете решать на характеристиках. Не вполне понимаю, где проявится преимущество,
ведь после замены, получим
$$
\begin{cases}
\partial_u n_e(u-v, u+v) = -16 n_e(u-v, u+v) E(u-v, u+v), \\
\partial_u E(u-v, u+v) = 1 - n_e(u-v, u+v), \\
n_e(0, u+v) = n0(u+v),\quad n_e(0, u-v) = n0(u-v),
E(0, u+v) = E0(u+v),\quad E(0, u-v) = E0(u-v),
\end{cases}
$$
а что с этим делать дальше? Как будет выглядеть сетка, не представляю?

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:41 
Аватара пользователя
olevkcom в сообщении #822421 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, такой учебник. В известных мне учебниках не нашёл.
Например:
Л. И. Турчак. Основы численных методов. Москва, "Наука", 1987.
Посмотрите главу 8, § 2.

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 19:53 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #822427 писал(а):
olevkcom в сообщении #822421 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, такой учебник. В известных мне учебниках не нашёл.
Например:
Л. И. Турчак. Основы численных методов. Москва, "Наука", 1987.
Посмотрите главу 8, § 2.


Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).

Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 20:11 
Аватара пользователя
У Вас задача распадается на множество независимых задач для каждой линии $v=\operatorname{const}$. Каждая задача будет состоять в решении системы обыкновенных ДУ с начальными условиями.

Я буду для простоты вместо $n_e$ писать $n$, хорошо? Пусть
$\tilde n_v(u)=n(x(u,v), y(u,v))$
$\tilde E_v(u)=E(x(u,v), y(u,v))$
Тогда после перехода к новым переменным получаем задачу Коши
$\frac d{du}\tilde n_v(u)= -16 \tilde n_v(u) \tilde E_v(u)$
$\frac d{du}\tilde E_v(u) = 1 - \tilde n_v(u)$
с начальными условиями для $\tilde n_v$, $\tilde E_v$, заданными в точке $u=v$ (при $v>0$) или в точке $u=-v$ (при $v<0$).

Здесь $v$ становится просто параметром (независимой) задачи, в рамках этой задачи она постоянна, поэтому обозначена индексом (это не производная!), соответственно, производная по $u$ полная. Индекс $v$ для краткости можно не писать. От него зависят начальные условия, но не уравнения.

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 20:19 
Аватара пользователя
svv в сообщении #822434 писал(а):
У Вас задача распадается на множество независимых задач для каждой линии $v=\operatorname{const}$. Каждая задача будет состоять в решении системы обыкновенных ДУ с начальными условиями.

Я буду для простоты вместо $n_e$ писать $n$, хорошо? Пусть
$\tilde n_v(u)=n(x(u,v), y(u,v))$
$\tilde E_v(u)=E(x(u,v), y(u,v))$
Тогда после перехода к новым переменным получаем задачу Коши
$\frac d{du}\tilde n_v(u)= -16 \tilde n_v(u) \tilde E_v(u)$
$\frac d{du}\tilde E_v(u) = 1 - \tilde n_v(u)$
с начальными условиями для $\tilde n_v$, $\tilde E_v$, заданными в точке $u=v$ (при $v>0$) или в точке $u=-v$ (при $v<0$).

Здесь $v$ становится просто параметром (независимой) задачи, в рамках этой задачи она постоянна, поэтому обозначена индексом (это не производная!), соответственно, производная по $u$ полная. Индекс $v$ для краткости можно не писать. От него зависят начальные условия, но не уравнения.


Спасибо. Идея ясна. Детали требуют осмысления. Надо вспоминать материал :)

Кстати, а Вы бы не стали вводить прямоугольную сетку
и решать нелинейную систему методом Ньютона?

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение03.02.2014, 20:59 
Аватара пользователя
olevkcom в сообщении #822430 писал(а):
Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).
Очень странно. В моём экземпляре этот параграф называется "Уравнения первого порядка", и в нём пункты:
1. Линейное уравнение переноса.
2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения.
3. Консервативные схемы.
4. Системы уравнений. Характеристики.

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):
Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?
А какая проблема с этой нелинейностью?

-- Пн фев 03, 2014 22:05:18 --

Ссылка на электронную версию: http://by-chgu.ru/media/matem/turchak1.djvu

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение04.02.2014, 08:17 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #822456 писал(а):
olevkcom в сообщении #822430 писал(а):
Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).
Очень странно. В моём экземпляре этот параграф называется "Уравнения первого порядка", и в нём пункты:
1. Линейное уравнение переноса.
2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения.
3. Консервативные схемы.
4. Системы уравнений. Характеристики.

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):
Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?
А какая проблема с этой нелинейностью?

-- Пн фев 03, 2014 22:05:18 --

Ссылка на электронную версию: http://by-chgu.ru/media/matem/turchak1.djvu


Спасибо за ссылку. Несоответствия нет.
Рассказал, как понимаю этот параграф, и по-моему, то, что там написано
напрямую применить нельзя к записанной выше системе.
Либо, я чего-то недопонял.

 
 
 
 Re: Как численно интегрировать систему
Сообщение10.02.2014, 20:55 
Аватара пользователя
olevkcom в сообщении #822552 писал(а):
Someone в сообщении #822456 писал(а):
olevkcom в сообщении #822430 писал(а):
Спасибо, если я правильно, понял параграф 2 главы 8 посвящён решению системы
линейных гиперболических уравнений, например, уравнений газовой динамики.
Задача "о поршне" (в англ. литературе Sod's problem).
Очень странно. В моём экземпляре этот параграф называется "Уравнения первого порядка", и в нём пункты:
1. Линейное уравнение переноса.
2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения.
3. Консервативные схемы.
4. Системы уравнений. Характеристики.

olevkcom в сообщении #822430 писал(а):
Как посоветуете быть с нелинейностью
$-16n_e E$
в первом уравнении?
А какая проблема с этой нелинейностью?

-- Пн фев 03, 2014 22:05:18 --

Ссылка на электронную версию: http://by-chgu.ru/media/matem/turchak1.djvu


Спасибо за ссылку. Несоответствия нет.
Рассказал, как понимаю этот параграф, и по-моему, то, что там написано
напрямую применить нельзя к записанной выше системе.
Либо, я чего-то недопонял.


Беру свои слова обратно, недопонял.
Схема левый уголок, после приведения подобных даёт явные выражения
для расчёта:
$
\begin{equation*}
\begin{cases}
n_i^{j+1} &= n_{i-1}^{j} - 16 h n_{i-1}^j E_{i-1}^j, \\
E_i^{j+1} &= E_{i-1}^{j} + h (1 - n_{i-1}^j),
\end{cases}
\end{equation*}
$
здесь $(i,\,j) -$ индексы координаты узла по осям $Oy,\,Ox$, соответственно.

Результаты расчёта в нижнем ряду. Верхний ряд - начальные распределения.
Изображение

Вопрос 2.
А как решать векторную систему, в общем случае
$
\begin{equation*}
\begin{cases}
\operatorname{\nabla}{n} = -8 n  \mathbf{E}, \\
\operatorname{\nabla}\cdot{\mathbf{E}} = 1 - n,
\end{cases}
\end{equation*}
$
или, учитывая $\mathbf{E}= \{E_1,\,E_2\}$, скалярную систему:
$
\begin{equation*}
\begin{cases}
\partial_x n = -8 n E_1, \\
\partial_y n = -8 n E_2, \\
\partial_x E_1 + \partial_y E_2 = 1 - n?
\end{cases}
\end{equation*}
$

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group