У Вас задача распадается на множество независимых задач для каждой линии

. Каждая задача будет состоять в решении системы обыкновенных ДУ с начальными условиями.
Я буду для простоты вместо

писать

, хорошо? Пусть


Тогда после перехода к новым переменным получаем задачу Коши


с начальными условиями для

,

, заданными в точке

(при

) или в точке

(при

).
Здесь

становится просто параметром (независимой) задачи, в рамках этой задачи она постоянна, поэтому обозначена индексом (это не производная!), соответственно, производная по

полная. Индекс

для краткости можно не писать. От него зависят начальные условия, но не уравнения.