среднее гармоническое

[AndreyL]

Друзья! Возникли вопросы с некоторыми средними по Колмогорову. Со средним геометрическим более-менее понятно - оно является оценкой медианы логнормального распределения и одновременно оценкой его первого параметра (точнее его экспоненты). Т.е. получается, что среднее геометрическое фактически связано с логнормальным распределением. А в каких случаях применяется среднее гармоническое?

[--mS--]

Ну, например, для распределения с плотностью $f_\theta(y)=\frac{\theta}{y^2}e^{-\theta/y}$ ($y>0$) среднее гармоническое - оценка метода моментов, построенная по моменту $\mathsf E_\theta\,\frac{1}{X_1}$.
Абсолютно то же самое будет и для выборки из распределения величины $X=\frac{1}{Y}$, где $Y$ имеет какое угодно распределение такое, что $\mathsf E_\theta\,Y=\frac{1}{\theta}$, $\theta \neq 0$ и $\mathsf P_\theta(Y=0)\equiv 0$.

Любое среднее по Колмогорову есть оценка метода моментов, и геометрическое в том числе. И не обязательно для логнормального распределения - вообще для любого распределения величины $X=\exp(Y)$, где $\mathsf EY=\ln(\theta)$. Построенное по моменту $\mathsf E\ln(X_1)$. Если не попутала экспоненты с логарифмами местами.

[AndreyL]

Замечательно! А не могли бы Вы привести пример величины, которая могла бы подчиняться распределению с плотностью $f_\theta(y)=\frac{\theta}{y^2}e^{-\theta/y}$ ($y>0$)? Желательно не из экономики, что нибудь поближе к естественным наукам.

[svv]

Такому распределению подчиняется случайная величина $Y$, если обратная ей с.в. $X=1/Y$ имеет показательное распределение с параметром $\theta$.

Т.е. я не ответил на Ваш вопрос, но свёл его к более простому.

[AndreyL]

Да, к сожалению не ответили. Вопрос, собственно, в том, имеет ли среднее гармоническое какое либо прикладное значение, или представляет исключительно академический интерес.

[Ms-dos4]

Например оно встречается в некоторых типах задачах на среднюю скорость (типа на первой половине пути скорость была $\[{v_1}\]$, на второй половине $\[{v_2}\]$, найти среднюю скорость. Ответ $\[\left\langle v \right\rangle = \frac{2}{{\frac{1}{{{v_1}}} + \frac{1}{{{v_2}}}}} = \frac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\]$ - как раз среднее гармоническое). Так же его можно заметить в формуле тонкой линзы $\[D = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]$, но это скорее "искусственные" примеры, чем какая то система.

[AndreyL]

Это скорее примеры расчета конкретных величин. Хотелось бы какой-то пример с оценкой характеристик распределения средним геометрическим.

[--mS--]

Простите, мне никогда не понять, ужели экспонента от нормального распределения имеет большее народнохозяйственное значение, нежели величина, обратная к показательно распределённой. И ещё менее - какой смысл искать это значение на академическом форуме.

[AndreyL]

Логнормальное распределения очень активно используется в народном хозяйстве. Например в геохимии (это мне ближе) этому распределению подчиняется содержание редкоземельных элементов в горных породах. Это эмпирический факт имеющий четкое термодинамическое обоснование.
По поводу академического форума - я надеюсь на то, что в этом форуме принимают участие не только специалисты в теоретической математике, но и прикладники (типа меня). Возможно кто-то использовал в своей практике или знает примеры использования различных вариантов среднего по Колмогорову, в частности того самого среднего геометрического, в задачах оценки характеристик распределения.

[Александрович]

Если св $t$ - время наработки устройства на отказ, то $1/t$ - затраты на восстановление этого устройства.

[AndreyL]

Если разговор идет об амортизации, то при цене устройства $c$ амортизация в единицу времени будет $c/t$. Время наработки на отказ, если я не ошибаюсь, подчиняется распределению Вейбула. Тогда $c/t$ подчиняется распределению Фреше. Вопрос - какую характеристику распределения Фреше можно оценить средним гармоническим?
Или как то не так?

[Александрович]

AndreyL в сообщении #821066 писал(а):

Время наработки на отказ, если я не ошибаюсь, подчиняется распределению Вейбула.

В зависимости от устройства, и Вейбулла может быть, и показательным и ограниченным нормальным и т.п. Это зависит от модели, которою вы выбрали.

[svv]

Если у нас много-много таких устройств, то, интуитивно, время между соседними во времени отказами должно иметь показательное распределение, независимо от того, какому распределению подчиняется время работы одного устройства.

[AndreyL]

По-моему, уходим от темы. Хотелось бы увидеть примеры использования среднего гармонического в задачах оценки характеристик распределения (не обязательно параметров)