Периодичность решений в гамильтоновой механике

[CptPwnage]

Здравствуйте,
Допустим у меня есть некоторый гамильтониан (похожий на осциллятор, но не автономный, периодичен по времени), зависящий от параметров. Известно, что при некоторых значениях параметров все решения периодичны (фазовые кривые замкнуты). Можно ли получить какое-то условие на параметры, при каких например это вообще возможно? Из численных экспериментов просто получается одно любопытное свойство и хочется аналитически его доказать.

[sithif]

Если гамильтониан квадратичный (уравнения движения линейные), то посмотрите Floquet theory.
Для квазипериодичного движения Floquet exponents должны быть отрицательны.
Для 2D случая получается условие: $|Tr(M)| < 2$, где $M$ -- матрица преобразования за период.

[CptPwnage]

Да, эту теорию я уже применял, мне грубо говоря как раз и надо понять при каких значениях параметра в гамильтониане матрица преобразования за период может быть тождественна (необходимое условие на параметры, например)

[sithif]

Не совсем понятно, что вы понимаете под "тождественна" и как это у вас согласуется с "фазовые кривые замкнуты".
Матрица перехода такая, что $z(s+S)=M z(s) = z(s)$? тогда след строго 2.
Но в этом случае на сечении одна точка.
Конечно при численном интегрировании она "размажется", но это, как известно, численные проблемы.

[CptPwnage]

Да все правильно, матрица $M$ монодромии за период $T$ тождественна. Все решения за время $T$ возвращаются в начальное условие. Вот я пытаюсь как-нибудь понять какими свойствами должен обладать гамильтониан чтобы такое было в принципе возможно.

[sithif]

Понятно, тогда вам нужно найти диаг. элементы (их зависимость от параметров),
кажется, для общего случая это не получится аналитически.

Посмотрите начиная со стр. 46 http://cds.cern.ch/record/235242/files/CERN-94-01-V1.pdf?version=3.

[Ales]

sithif в сообщении #822032 писал(а):

Все решения за время $T$ возвращаются в начальное условие.

Это разве не более сильное требование, чем просто "замкнутые орбиты"?
Например, планеты движутся по эллипсам, но периоды обращения разные для разных орбит.

И разве нельзя перейти от неавтономной системы к автономной, введя дополнительные переменные?
$\int pdq - H(p,q,t)dt \to extr$
заменяем на
$\int pdq + hdt - (h+H(p,q,t))ds \to extr$.

[CptPwnage]

Более сильное, да, я не точно написал в первом посте.
Хмм, а подробнее, как вводятся новые переменные?

[Ales]

CptPwnage в сообщении #822076 писал(а):

Хмм, а подробнее, как вводятся новые переменные?

$\int pdq - H(p,q,t)dt \to extr$
$\int pdq + hdt\to extr, h = - H(p,q,t)$
$\int pdq + hdt - (h+H(p,q,t))ds \to extr$.

-- Вс фев 02, 2014 20:39:21 --
В случае одинакового периода
неавтономное уравнение можно свести к автономному с замкнутыми траекториями.
А вот если период разный, то у автономного уравнения замкнутых траекторий не будет.