2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21, 22  След.
 
 Re: Бесконечность
Сообщение31.01.2014, 16:27 
Аватара пользователя


11/06/12
9521
слегка.весны.храп
Что за набор слов?
ratay в сообщении #821062 писал(а):
Когда я говорю о бесконечности фрактального пространства, я имею в виду бесконечность его линейных размеров, как и у плоскости, трехмерного пространства и т.д.
Не пространства, а объекта, являющегося подмножеством некоторого пространства. Канторово множество $C\subset[0;1]\subset\mathbb{R}$. Снежинка Коха $K\subset\mathbb{R}^2$. Снежинка Коха и множество Мандельброта, к примеру, имеют бесконечный периметр, но конечную площадь. Новомодный Mandelbulb имеет бесконечную поверхность, но конечный объём.
Под линейными размерами я привык понимать длину, ширину и глубину, но никак не площадь и объём. И говорить о «бесконечности линейных размеров» $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}^3$ бессмысленно.
ratay в сообщении #821062 писал(а):
Хотя, конечно, структура фрактала отличается от структуры привычных нам геометрических непрерывных пространств.
Хотелось бы понять, какой смысл вы вкладываете в эти слова.
ratay в сообщении #821062 писал(а):
Появляется внутренняя, точечная связность, кривизна,
может, что-то еще - пока неясно.
И в эти тоже.
Фракталы открыты отнюдь не вчера, и многое из того, что когда-то было неясно, уже выяснено. Хотя, к примеру, вопрос о площади множества Мандельброта остаётся открытым. Даже численно вычислить её не так-то просто, а теоретических подходов почти что нет.
ratay в сообщении #821062 писал(а):
Но интересно, что если мы для построения трехмерного бесконечного фрактала возьмем четырехмерный кубик, разобьем его на 256 ячеек (каждое ребро разобъем на 4 части) и оставим из них 64, то зависимость объема такого фрактала от его линейных размеров будет привычной нам кубической. В таком бесконечном фрактале мы тоже сможем выделять привычные нам кубы, шары и прочие геометрические объекты.
Эту часть я вообще не понял. Можете привести картинку? Хотя и так понимаю, что никаких шаров и «прочих геометрических объектов» там заведомо не будет.

И, ratay, каким способом вы вообще тексты набираете-то? Вы совсем не видите, что это некрасиво?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение31.01.2014, 17:55 


29/01/14
8
Dan B-Yallay в сообщении #820387 писал(а):
Утверждениями вообще-то принято называть конечные выражения. Что у вас там по диагонали получается....

Тоже, что и в каждой строке.

В каждой строке выписаны все утверждения арифметики. Алгоритм должен отличать синтаксически корректные утверждения от белиберды (иначе утверждение Someone неверно). Их порядок различен, т.к. различны алгоритмы их выписывающие.

$x_1=a_{11}, a_{12}, a_{13}…$
$x_2=a_{21}, a_{22}, a_{23}…$
$x_3=a_{31}, a_{32}, a_{33}…$

$x_n$ - номер алгоритма, выписывающего все утверждения арифметики;
$a_{nm}$ - номер (правильного) высказывания арифметики, которое выписал алгоритм с номером $n$ на шаге $m$;

Рассмотрим следующую последовательность утверждений арифметики:
$x=d_1,d_2,d_3…d_k$, где $d_k \neq a_{kk}$
Этой последовательности нет в таблице, следовательно, существует алгоритм, который выписывает все утверждения арифметики иначе, чем все алгоритмы из таблицы.
Очевидно, что диагональная процедура, парой строк выше, и есть этот алгоритм.

Можно, конечно, сослаться на то, что под разными числами могут быть закодированы одни и те же высказывания арифметики. Тогда представим, что мы пользуемся системой счисления, основание которой равномощно алфавиту языка арифметики, тогда ничего повторяться не будет. Более того, т.к. тексты самих алгоритмов тоже являются утверждениями арифметики, то они тоже войдут в таблицу, как части некоторых строк.
Так сколько всего таких алгоритмов ?
С одной стороны, т.к. каждый алгоритм конечен, их счетное множество.
С другой стороны, диагональная процедура доказывает, что это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение31.01.2014, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
8909
Кентакска волост
Duku в сообщении #821119 писал(а):
каждый алгоритм конечен, их счетное множество.
Duku в сообщении #821119 писал(а):
диагональная процедура, парой строк выше, и есть этот алгоритм.
Почему Вы думаете, что алгоритм $x$ - описывающий диагональную процедуру - конечен? Он должен содержать информацию обо всех алгоритмах $x_1, x_2, x_3 \ldots$ чтобы на $k$-том шаге уметь выписывать утверждение, отличающееся от $a_{kk}$.
Я неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение31.01.2014, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17303
Москва
Duku в сообщении #821119 писал(а):
Рассмотрим следующую последовательность утверждений арифметики:
$x=d_1,d_2,d_3…d_k$, где $d_k \neq a_{kk}$
Этой последовательности нет в таблице, следовательно, существует алгоритм, который выписывает все утверждения арифметики иначе, чем все алгоритмы из таблицы.
Ерунду Вы пишете. Во-первых, ни откуда не следует, что эта последовательность содержит все высказывания. Во-вторых, даже если это и так, ниоткуда не следует, что найдётся алгоритм, перечисляющий высказывания именно в таком порядке. Тем более, что существует континуум последовательностей, перечисляющих все высказывания, и только счётное множество алгоритмов.

Duku в сообщении #821119 писал(а):
Алгоритм должен отличать синтаксически корректные утверждения от белиберды (иначе утверждение Someone неверно).
Высказывания определяются чисто синтаксически, без обращения к "смыслу" или "истинности". В общем, высказывание в формальной теории — это просто слово (конечная последовательность символов заданного алфавита; алфавит будем считать конечным, раз уж мы заговорили об алгоритмах), имеющее определённую синтаксическую структуру. Эта структура достаточно простая и легко распознаётся алгоритмом. Например, $a=b$ — высказывание, а $a=+=b$ —нет (я подразумеваю обычно используемый синтаксис арифметических высказываний). Поэтому для перечисления всех высказываний нужно просто перечислять всевозможные слова (например, в лексикографическом порядке) и проверять, являются ли они высказываниями. Естественно, перечисляющих алгоритмов много, и они могут перечислять высказывания в разном порядке.

Кстати, доказательство в формальной теории тоже определяется чисто синтаксически, поэтому можно построить алгоритм, перечисляющий доказуемые высказывания (здесь предполагаются, что аксиомы можно перечислить некоторым алгоритмом; для арифметики это выполнено). К сожалению, пользы от этого мало: такой алгоритм не поможет нам проверить, доказуемо ли произвольно взятое высказывание. То есть, если высказывание доказуемо, то рано или поздно алгоритм до него доберётся, но неизвестно, когда это произойдёт. Допустим, мы ждём уже миллиард лет, а нужного нам высказывания алгоритм ещё не вывел. Что мы должны думать по этому поводу?

Duku в сообщении #821119 писал(а):
Более того, т.к. тексты самих алгоритмов тоже являются утверждениями арифметики, то они тоже войдут в таблицу, как части некоторых строк.
Нет, алгоритмы не являются утверждениями, и нам будет неудобно, если мы не сможем отличать запись алгоритма от высказывания. Поэтому кодирование алгоритмов должно быть таким, чтобы мы могли распознавать коды алгоритмов и отличать их от других слов на синтаксическом уровне.

Duku в сообщении #821119 писал(а):
С одной стороны, т.к. каждый алгоритм конечен, их счетное множество.
С другой стороны, диагональная процедура доказывает, что это не так.
Диагональная процедура ничего такого не показывает.

Dan B-Yallay в сообщении #821138 писал(а):
Почему Вы думаете, что алгоритм $x$ - описывающий диагональную процедуру - конечен? Он должен содержать информацию обо всех алгоритмах $x_1, x_2, x_3 \ldots$ чтобы на $k$-том шаге уметь выписывать утверждение, отличающееся от $a_{kk}$.
Ну, если уж речь пошла о записях алгоритмов, то такая запись должна быть конечной.
Существует "универсальный алгоритм", который, получив на входе запись какого-нибудь алгоритма и входные данные для него, воспроизводит действия этого алгоритма.
Можно представить себе алгоритм, перечисляющий бесконечную последовательность "алгоритмов для перечисления всех высказываний" (и даже последовательность всех алгоритмов вообще).

Но приведённое выше Duku рассуждение существенно неполно, поскольку диагональная процедура не может гарантировать, что в полученной последовательности будут все высказывания.

Если же не гнаться за перечислением непременно всех высказываний, то подобным рассуждением можно показать, что не существует алгоритма, перечисляющего все алгоритмы "для перечисления бесконечных последовательностей высказываний".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение31.01.2014, 22:41 


29/01/14
8
Someone в сообщении #821157 писал(а):
Ерунду Вы пишете. Во-первых, ни откуда не следует, что эта последовательность содержит все высказывания.
Ага, понял, в каждой строке все высказывания, а по диагонали только подмножество всех высказываний. Конечно, ни откуда не следует, что это подмножество равно множеству всех высказываний, но и обратное, тоже, ниоткуда не следует. Мы просто этого не знаем.
Someone в сообщении #821157 писал(а):
Во-вторых, даже если это и так, ниоткуда не следует, что найдётся алгоритм, перечисляющий высказывания именно в таком порядке.
Странное утверждение, указанный "диагональный" алгоритм, по определению, перечисляет именно эти высказывания и именно в этом порядке. :-)
Someone в сообщении #821157 писал(а):
Тем более, что существует континуум последовательностей, перечисляющих все высказывания, и только счётное множество алгоритмов.
Вот-вот, в этом то и вопрос, а Вы говорите об этом так, как будто это уже давно решено. Это решено на уровне: ни откуда не следует, что диагональная последовательность $x=d_1,d_2,d_3…$ содержит все высказывания, хотя и обратное тоже ниоткуда не следует. Мы просто этого не знаем.
Вы говорите: "последовательностей больше, чем алгоритмов". Но при этом, ни одной "неалгоритмической" последовательности предъявить не можете...Можете, разве что, предъявить последовательности, которые являются их "бирками", указывающими на их существование, но не сами последовательности (или алгоритм их построения). Это тоже самое, как в моем примере, когда за разными числами $a_{12}, a_{22}$, могут скрываться одни и те же утверждения арифметики.
Someone в сообщении #821157 писал(а):
Нет, алгоритмы не являются утверждениями…
А тексты алгоритмов являются утверждениями ?
Someone в сообщении #821157 писал(а):
… и нам будет неудобно, если мы не сможем отличать запись алгоритма от высказывания.
Почему ?
Например, пока мы накладываем ограничение: код и данные нельзя смешивать, то действуют такие-то правила, теоремы, ограничения. Если же они перемешаны и не различимы (управление передается на данные, которые становятся кодом), то указанные ограничения не действуют. Точно также и здесь, пока мы желаем различать алгоритмы от высказываний, эти ограничения есть, как только откажемся, снимутся и ограничения.
Someone в сообщении #821157 писал(а):
Поэтому кодирование алгоритмов должно быть таким, чтобы мы могли распознавать коды алгоритмов и отличать их от других слов на синтаксическом уровне.
А можно ли это сделать, для произвольного текста ? Конечно, я имею в виду язык программирования, на котором можно написать все высказывания арифметики.
Цитата:
Существует "универсальный алгоритм", который, получив на входе запись какого-нибудь алгоритма и входные данные для него, воспроизводит действия этого алгоритма.
Универсальный алгоритм, является одной из причин разногласий в вопросе о существовании неалгоритмических последовательностей.
Если по выдаваемой последовательности невозможно установить, какой алгоритм ее выдает, подлинный или виртуальный, то и упорядочить универсальные алгоритмы, по выписываемым ими последовательностям нельзя. Нельзя по данной последовательности определить, какой из универсальных алгоритмов ее исполняет. Соответственно, нельзя определить, есть ли алгоритм, выписывающий "диагональную" последовательность в одной из строк таблицы.
Кроме того, любая, явно представленная последовательность алгоритмическая. Как и последовательность высказываний, утверждающих существование некой неалгоритмической последовательности, сама вполне алгоритмическая, и может использоваться, как "бирка" (для "пустоты").
Someone в сообщении #821157 писал(а):
Если же не гнаться за перечислением непременно всех высказываний, то подобным рассуждением можно показать, что не существует алгоритма, перечисляющего все алгоритмы "для перечисления бесконечных последовательностей высказываний".
Покажете ?

Наверно, таких "несуществующих" алгоритмов континуум. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27252
Duku в сообщении #821244 писал(а):
А тексты алгоритмов являются утверждениями ?
Нет. И, сразу до конца, частично рекурсивные функции, любые формы их представления, лямбда-термы, какие-то виды записи всевозможных машин Тьюринга и многое другое — все не являются утверждениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 17:03 


21/08/13

784
Aritaborian-у: если я пишу о бесконечном фрактальном
множестве, то именно это я и имею в виду. Действительно,
все классические фракталы строились, исходя из конечных
геометрических объектов. Но есть процедура, позволяющая
разбить четырехмерное (и не только) пространство на
конечное количество трехмерных фракталов, которые не
совсем похожи на привычные нам. Учитывая, что задача
форума не самореклама, а пробуждение каких-либо мыслей
у участников, то:
Во-первых, существуют личные сообщения, буду только рад.
Во-вторых, перед тем как искать готовый ответ, всегда
полезно поломать голову самому. Иногда рождаются
любопытные мысли.
Далее, площадь и объем не имеют линейных размеров,
но плоскость и трехмерное пространство имеют две и,
соответственно, три бесконечных координатных оси.
Изображать четырехмерный кубик на плоскости в виде
тессеракта - лишь запутать картину. Главное помнить, что
оставшиеся 64 элемента должны представлять своего рода
непрерывную змейку, проходящую через все грани куба.
А при наборе текста главное:
1. Без грамматических ошибок.
2. Без нецензурных выражений.
3. Чтобы читающему было понятно.
По-моему, мои тексты э тому соответствуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ratay
Продемонстрируйте на более простом примере. Возьмите трёхмерный кубик из 64 подкубиков, выберите из них случайным образом (то есть никак специально не расположенные) 16, и покажите, каким образом фрактал, основанный на таком выборе 16 подкубиков, позволяет изображать хорошо знакомые плоские фигуры: линии (параллельные, наклонные и перпендикулярные), окружности, треугольники.

Когда у вас не получится, наступит для вас время "поломать голову самому".

А на будущее, полезно думать, прежде чем пишете что-то, что вам кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 20:36 


13/01/14
106
Кстати, "теория палочек", приравниваемая здесь кое-кем к "существованию бесконечности"... ненаучна .
Согласно критерию Поппера. Тогда как существование наибольшего представимого числа - вполне.

(Оффтоп)

Впрочем, критерий обнаружен на "викимусорке" и может сам кое-кем быть признан "ненаучным" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 22:09 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Вот почему почти все взывальщики к Попперу так удобно забывают о том, что Поппер свой критерий сформулировал для эмпирических теорий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 23:03 


13/01/14
106

(Оффтоп)

Умозрительные системы почти всегда религиозны, эмпирические никогда. В. Ф. Одоевский, «Психологические заметки»


Я же не пошёл с этой "теорией" в матем. раздел. Или в банк. Я говорю о представимом, реализуемом. Физика как может отрицать зависимость процесса от энергии? Ту же "следующую" палочку надо откуда-то взять/представить себе. Ваше наслоение палочек не имеет физ. смысла, или нет? Разве что в виде переписки. Вы (другие) не можете доказывать (представлять) существование бесконечности бесконечно. Парадокс. И тогда оно (она) закончится? И где-то была бесконечность ДО введения самого этого слова? Есть наверное дата рождения у неё...

(Оффтоп)

Ну пусть она существует, аминь.Закрываю

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 23:09 
Аватара пользователя


11/06/12
9521
слегка.весны.храп
st rik, вам только что попытались объяснить, что ваши воззвания к критерию Поппера в данном случае не имеют под собой оснований. Вы не вняли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 23:21 


13/01/14
106
Aritaborian
эмпирический - Значение
книжн. филос. опытный, полученный опытным путём.

В физике есть другие критерии истинности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
st rik
А с чего вы взяли, что рассуждения о существовании чисел относятся к физике?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение01.02.2014, 23:35 


13/01/14
106
Munin в сообщении #821704 писал(а):
st rik
А с чего вы взяли, что рассуждения о существовании чисел относятся к физике?


А есть другие варианты? Вопреки физике? Параллельно? Значит требуется расширить понятие физики, нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 317 ]  На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21, 22  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group