диофантово уравнение

[B@R5uk]

$7^2+3\cdot1^2=52 = 52 \cdot 1^2$

[nnosipov]

tatkuz1990 в сообщении #820996 писал(а):

Похоже, что решать нужно более простое уравнение:

$ p^2+q^2=13 \cdot z^2$

Вот ерунда. А там не ерунда.

[B@R5uk]

ИСН в сообщении #821011 писал(а):

Или, может, видна, если удалить все кратные.

Не видна

(Оффтоп)

     2     4     1
     5     3     1
     7     1     1
     5    29     7
    19    27     7
    31    23     7
    41    17     7
    46    12     7
    50     4     7
    19    53    13
    70    36    13
    89    17    13
     7    79    19
    67    69    19
    70    68    19
   115    43    19
   122    36    19
   137     1    19
     7   129    31
    98   116    31
   125   107    31
   190    68    31
   197    61    31
   223     9    31
    31   153    37
   115   139    37
   151   127    37
   214    92    37
   245    61    37
   266    12    37
     5   179    43
   149   157    43
   161   153    43
   266    92    43
   271    87    43
   310     4    43
     2   204    49
   163   181    49
   190   172    49
   305   103    49
   307   101    49
   353     9    49
    67   251    61
   175   233    61
   262   204    61
   343   159    61
   410    92    61
   437    29    61
    70   276    67
   161   263    67
   314   212    67
   379   173    67
   449   103    67
   475    51    67
    41   303    73
   245   269    73
   281   257    73
   434   172    73
   475   131    73
    98   324    79
   175   313    79
   382   244    79
   437   211    79
   115   373    91
   293   339    91
   362   316    91
   161   393    97
   175   391    97
   499   283    97
    46   428   103
   305   391   103
   434   348   103
    70   452   109
   358   404   109
   427   381   109
   331   493   127

[Fedya]

На сколько я понял, нужно искать такие значения x, y, t, чтобы подставив их в уравнение, получить верное равенство. Потом доказать что найденные значения попарно взаимо простые?

[ИСН]

Да ничего не надо, забейте.

[Fedya]

Как же забить, если надо доказать!?

[B@R5uk]

Fedya в сообщении #821040 писал(а):

Потом доказать что найденные значения попарно взаимо простые?

Ничего вы не поняли. Потому что очевидно, что если тройка целых чисел удовлетворяет уравнению, то после умножения на любое целое число они так же будут удовлетворять уравнению.

[Fedya]

Я имею ввиду, не найти численные значения x,y,t. А задать их через другие переменные, таким образом, чтобы полученные выражения при подстановке превращали данное уравнение в тождество.

[B@R5uk]

Немного поразмыслив я обнаружил следующие свойства. Если тройка несократимых нацело целых чисел $x$, $y$ и $z$ является решением уравнения $x^2+3y^2=52z^2$, то:
1) оба числа $x$ и $y$ либо оба чётные, либо оба нечётные (следствие наличия квадратов и делимости 52 на 4 нацело);
2) числа $x$ и $z$ не делятся на три (следствие несократимости и множителя 3 пред игреком);
3) число $z$ -- нечётное;
4) числа $x$ и $y$ не делятся на 13 (следствие несократимости и делимости 52 на 13).

Fedya в сообщении #821173 писал(а):

А задать их через другие переменные, таким образом, чтобы полученные выражения при подстановке превращали данное уравнение в тождество.

Это называется решить задачу.

Ещё одно наблюдение: квадраты и утроенные квадраты целых чисел, не делящихся нацело на 13, дают при делении на 13 в остатке только числа 1, 3, 4, 9, 10, 12. Можно даже табличку составить:

     1     1     3
     2     4    12
     3     9     1
     4     3     9
     5    12    10
     6    10     4
     7    10     4
     8    12    10
     9     3     9
    10     9     1
    11     4    12
    12     1     3

К сожалению, при таком подходе (разделение троек базовых решений по остаткам, даваемым при делении на 2, 3, 13) порождается очень большое число подрешений. Может быть есть подход красивее?

[ex-math]

Рациональные точки на эллипсе.
Зная одну, можно найти все.

[nnosipov]

Методом секущих.

[Fedya]

Спасибо за помощь и интерес к теме! Пытаюсь, но ничего не выходит. Буду думать.

[Ales]

Надо изучить свойства кольца, образованного элементами 1 и корень кубический из 1.
В этом кольце применим алгоритм Евклида нахождения НОД и
есть однозначное разложение на множители.
Можно прочитать например, как была доказана Теорема Ферма для показателя 3.

-- Сб фев 01, 2014 10:28:56 --

И конечно же в первую очередь надо переписать задачу,
чтобы было уравнение для чисел из этого кольца.

-- Сб фев 01, 2014 10:30:38 --

Просто решать эту задачу, не изучив соответствующий раздел арифметики - бессмысленное занятие.

[nnosipov]

Ales в сообщении #821394 писал(а):

Надо изучить свойства кольца, образованного элементами 1 и корень кубический из 1.
В этом кольце применим алгоритм Евклида нахождения НОД и
есть однозначное разложение на множители.

Это случайное обстоятельство.

[Ales]

nnosipov в сообщении #821440 писал(а):

Это случайное обстоятельство.

ОК.
Задачу можно решить и не влезая в эту тему с кольцом, используя только сечение прямыми.