Уравнения Дирака и спинмомент электрона

[Lvov]

Уважаемые участники форума, в рамках данной темы предлагается обсудить вопросы, касающиеся операторов спинового и орбитального моментов электрона, а также некоторые вопросы, касающиеся расширенного применения уравнений Дирака .
В данном сообщении и последующих сообщениях, следуя Ахиезеру-Берестецкому и Ландсбергу, гамма матрицы Дирака имеют вид

$$\gamma^k=\begin{vmatrix} 0 & -i \sigma^k \\ i \sigma^k & 0 \end{vmatrix},\, \, k=(1,\,2,\,3)$$ $$\gamma^4=\begin{vmatrix} \mathrm{I} & 0 \\ 0 & -\mathrm{I} \end{vmatrix},\, \, \text{где} \, \,\mathrm{I} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}.$$

Координатные индексы в 4-свертках принимают значения $k=(1,\, 2,\, 3,\, 4)$. Кроме того принято $c=1, \hbar=1$. Таким образом $x^4=it,$ и мы имеем дело с индексацией 4-пространства вида $(+,\,+,\,+,\,-).$

Вопрос о неправомерности принятого выражения для оператора спинового момента дираковского электрона рассматривался ранее в рамках темы "Волновая природа микромира", (см. сообщения post668254.html#p668254, post669455.html#p669455 и post670653.html#p670653), по-моему, необоснованно отправленной в пургаторий (г.г. модераторы, ради бога извините).
Напомню суть указанного вопроса. Принятый "стандартный" оператор спинового момента дираковского свободного электрона

$$\hat{M}^{ij} =1/2\,\sigma^{ij}=i/4(\gamma^i \gamma^j-\gamma^j \gamma^i)$$

характеризуется собственными функциями, которые в общем случае не являются решениями уравнений Дирака, а определяемый данным оператором спиновый момент свободного электрона не сохраняется во времени. В то же время для уравнения Дирака можно получить другой оператор спина

$$ \hat{M}^{ij}_{\text{сп}} = \frac 1 4 \,(1\,-\,\frac1 m \,\gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k})\,\sigma^{ij},\,\,\, (1)$$

который является произведением проектирующего оператора уравнения Дирака $\frac 1 2 \,(1\,-\,\frac 1 m \,\gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k})$ на вышеуказанный стандартный оператор спинового момента.
Новому оператору отвечает сохраняющийся спиновый момент, который в случае покоящегося электрона характеризуется единственной компонентой $M^{12}=\frac 1 2$, а в случае движущегося электрона в соответствии с закономерностями СТО характеризуется несколькими компонентами, причем модуль спинмомента здесь по-прежнему равен $\frac 1 2$. При этом собственные функции нового оператора являются решениями уравнения Дирака.
В части орбитального момента картина примерно та же. Принятый оператор орбитального момента

$$ \hat{M}^{ij}_{\text{орб}}\,=\,\frac 1{2m} \,(x^i \frac {\partial}{\partial x^j} - x^j \frac {\partial}{\partial x^i})$$

характеризуется собственными функциями, которые в общем случае не являются решениями уравнений Дирака, а определяемый данным оператором орбитальный момент свободного электрона в общем случае не сохраняется во времени.
Здесь также можно получить новый оператор, равный произведению проектирующего оператора уравнения Дирака на принятый оператор орбитального момента. Собственные функции нового оператора отвечают уравнениям Дирака, а определяемый им орбитальный момент электрона сохраняется во времени. При этом сумма новых операторов спинового и орбитального моментов электрона остается равной сумме известных операторов моментов.
Указанные новые операторы моментов могут быть получены вариационным методом при использовании уточненного лагранжиана уравнений Дирака, который отличается от принятого (см. Ахиезер, Берестецкий, КЭД, 1969, (8.8.1)) добавочным членом

$$\frac i {2m}\,\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x^k}\sigma^{kl}\frac{\partial\psi}{\partial x^l},$$

равным дивергенции вектора $s^k\,=\,\frac i {2m}\,\bar{\psi}\,\sigma^{kl} \frac{\partial\psi}{\partial x^l}$, и поэтому не изменяющим вида волновых уравнений.

Главный же вопрос, предлагаемый к рассмотрению в теме, касается использования отдельных уравнений дираковского типа для электронов и позитронов. Эти уравнения для свободных частиц имеют вид

$$(\gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k}+m) \psi =0,\,\,\, (2a) $$

$$(\gamma^k \frac {\partial }{\partial x^k}-m) \psi =0.\,\,\, (2b) $$

Их решения являются совокупностью решений спинорного уравнения второго порядка типа Клейна-Гордона (УКГ)

$$(\square \,-\, m^2) \psi =0.\,\,\, (2) $$

Использование совокупности уравнений (2a, 2b) или уравнения второго порядка (2) дает более полное и естественное описание электронно-позитронных волновых функций. При этом появляется возможность отказа от ряда формальных математических приемов, в частности от использования нормального произведения операторов, а также от метода вторичного квантования при его замене методом квазиклассического описания квантовых процессов, см. авторскую статью, формулы (17, 18) и сопутствующий текст.
Лагранжиан уравнения (2) имеет обычный вид, характерный для УКГ,

$$ L=-\frac 1 {2m} (\frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x^k} \, \frac {\partial \psi}{\partial x^k}+m^2 \bar{\psi} \psi ),\,\,\, (3)$$

, а лагранжианы уравнений (2a, 2b), выбираемые из условия отдельного сохранения спинового и орбитального моментов и согласования с лагранжианом (3), имеют вид

$$ L=\mp \frac 1 2 \left( \bar{\psi}\gamma^k \frac {\partial \psi} {\partial x^k} - \frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x^k} \gamma^k \psi \right) - m\bar{\psi} \psi + \frac i {2m} \frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x^k} \sigma^{kl} \frac {\partial \psi}{\partial x^l},\,\,\, (3a, 3b)$$

где знаки "-" и "+" отвечают соответственно электронному и позитронному уравнениям Дирака (2a) и (2b). Использование терминов "электронное" и "позитронное" уравнения Дирака связаны с тем обстоятельством, что названным уравнениям отвечает отрицательный и положительный знаки заряда, определяемые при использовании вариационной методики Лагранжа.
Выбранным лагранжианам отвечают определяемые по известным формулам вариационного формализма единые выражения для 4-вектора плотности электрического заряда-тока, канонического тензора энергии-импульса и тензоров спинового и орбитального моментов (см. формулы (5, 6, 7, 8) в данной статье). Истоки всех названных тензоров равны нулю, что обеспечивает сохранение получаемых на их основе интегральных показателей поля - электрического заряда, энергии-импульса, спинового и орбитального моментов.
Каждая из вышеприведенных систем уравнений (2a) и (2b) обладает двумя семействами решений вида $\psi= \psi_0 \exp (\pm i \varepsilon t - ipx)$ с положительной и отрицательной частотой осцилляции. При этом основному электронному решению отвечает отрицательная частота осцилляции в решениях уравнения (2a), а основному позитронному решению - положительная частота в (2b). Положительно-частотное же решение уравнения (2a) и отрицательно-частотное решение уравнения (2b) отвечают "малым" добавкам к основному позитронному решению уравнения (2b) и, соответственно к основному решению электронного уравнения (2a). Таким образом, в общем случае отрицательно-частотные решения системы уравнений (2a) и (2b) или уравнений (2) отвечает электронному состоянию, а положительно-частотные решения этих уравнений - позитронному состоянию. Следует заметить, что отдельно взятые неосновные решения уравнений электрона и позитрона характеризуются отрицательной энергией, и не существуют в виде явно наблюдаемых состояний.

Операторы динамических переменных для уравнения Клейна-Гордона (2) совпадают с их известными стандартными значениями. В случае уравнений Дирака (2a) или (2b) операторы динамических переменных являются антикоммутаторами стандартных операторов с оператором заряда частицы $\frac 1 m \gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k}.$ При этом операторы заряда и энергии-импульса отвечают стандартным операторам названных переменных, а операторы спинового и орбитального моментов равны произведению проектирующих операторов указанных уравнений на стандартные операторы моментов, что для электронного уравнения Дирака уже отмечалось в начале сообщения. Более подробную информацию об операторах и методах их получения можно увидеть в этой помеченной статье.

Примеры:
1) Пусть решение для свободного движущегося вдоль оси x электрона в прямоугольной системе координат имеет вид $ \psi = (1,\, 0,\, 0,\,0 ) \exp (-i \varepsilon t - ipz).$ Оно, являясь решением уравнения типа Клейна-Гордона (2), распадается на основное решение электронного уравнения (2a)

$$ \psi_{\text{эл}} = (\frac {m+\varepsilon} {2m},\, 0,\, 0, \,\frac {ip} {2m})\,\exp (-i \varepsilon t - ipx)$$

и дополнительное "малое" решение позитронного уравнения (2b)

$$\psi_{\text{поз}} = (\frac {m-\varepsilon} {2m},\,\, 0, \,0, \,\frac {-ip} {2m})\,\exp (-i \varepsilon t - ipx).$$

При этом последние решения также удовлетворяют уравнению (2). Приведенное электронное решение уравнения (2) по сравнению с соответствующим уравнением Дирака имеет то преимущество, что оно является собственной функцией стандартного оператора спинмомента $\hat{M}^{ij} =1/2\,\sigma^{ij}$ и отвечает его собственным значениям $M^{12}=\varepsilon/(2m),\,\, M^{02}=p/(2m).$ Решение же уравнения Дирака (2a) не является собственной функцией стандартного оператора спина.

2) Решение для электрона с минимальной энергией в одномерном "потенциальном ящике" с размерами $x=\pm d/2$ с бесконечным запирающим потенциалом, удовлетворяющее уравнению (2), имеет следующий вид:

$$\psi=(\cos(px),\, 0,\, 0,\, 0)\,\exp (-i\varepsilon t).\,\,\,(4)$$

Оно распадается на основное решение электронного уравнения (2a)

$$ \psi_{\text{эл}} = (\frac {m+\varepsilon} {2m} \cos (px),\, 0, \,0, \,\frac {ip} {2m} \sin (px) ) \exp (-i \varepsilon t)\,\,\,(4a)$$

и дополнительное "малое" решение позитронного уравнения (2б)

$$\psi_{\text{поз}} = (\frac {m-\varepsilon} {2m} \cos (px),\, 0,\, 0,\, \frac {-ip} {2m} \sin (px) ) \exp (-i\varepsilon t).\,\,\,(4b)$$

Здесь $p=\frac \pi d.$
Решение (4) имеет максимум в центре "ящика" и обращается в ноль на его границах. Оно является собственной функцией стандартного оператора спинмомента $\hat{M}^{ij} =1/2\,\sigma^{ij}$ и отвечает его собственному значению $M^{12}=1/2.$ В то же время соответствующее стандартное решение уравнения Дирака (4a) не обращается в ноль на границах потенциальной ямы. Оно не является собственной функцией стандартного оператора спина, который приводит к среднему значению спина, равному $\frac m {2 \varepsilon }.$ Однако последнее решение является собственной функцией вышеуказанного скорректированного оператора спина (1), отвечающей значению спина $\frac {\varepsilon} {2m}.$ Это значение несколько больше значения спина электрона, равного 1/2, что связано со спецификой описания электрона в потенциальном ящике с помощью уравнения Дирака (2a).

Необходимо указать, что при решении задач для связанного электрона во многих случаях граничных условий не существует комбинированных решений типа рассмотренных в наших двух примерах, удовлетворяющих критерию минимума энергии и естественным симметриям. В этих случаях необходимо использование стандартных решений уравнения Дирака (2a). Например, решение типа (4) существует в потенциальном ящике с прямоугольными потенциальными стенками любой высоты, но такого решения не существует в случае наклонных стенок ящика.
Также замечу, что по моим представлением случайное вакуумное электронно-позитронное поле (т.е. нулевые вакуумные состояния согласно КЭД) содержит в равной мере (имеются ввиду средние значения действия) все составляющие электронного и позитронного уравнений.

Жду Ваших критических замечаний и вопросов. О.Львов

[Lvov]

В заключение стартового сообщения был приведен пример электрона в потенциальном ящике, где волновая функция представляла сумму электронной и позитронной составляющих с одинаковой частотой осцилляции и, соответственно, с положительной и отрицательной плотностью энергии. В данном сообщении приводится другой пример комбинированного стационарного электронного состояния, где электрон находится в потенциальной ловушке с магнитным запиранием. Запирание производится за счет увеличения на периферии ловушки потенциальной энергии электрона, обязанной взаимодействию магнитного поля со спиновым магнитным моментом электрона.
Предполагается одномерное движение электрона вдоль координаты $x$ при наличии периферийно возрастающего магнитного поля, направленного вдоль спиновой оси $z$. Такое поле создается вектором-потенциалом c единственной пространственной компонентой $A_y,$ зависящей от координаты $x.$ Для определенности будем считать, что $A_y=ax^3,$ откуда $H_z=-\frac{\partial A_y}{\partial x}= -3ax^2.$ Вместе с магнитным полем при смещении электрона от начала координат квадратично возрастает его энергия, таким образом мы имеем дело с линейным квантовым осциллятором.
Возможность использования в рассматриваемом решении единственной компоненты волновой функции $\psi_1$ связана с тем обстоятельством, что спиновый член $\frac e 2 (F_{kl} \sigma^{kl} \psi)$ в уравнении второго порядка характеризуется диагональной матрицей $F_{kl} \sigma^{kl}=H_z \sigma^{12}$, обеспечивающей присутствие спинорной компоненты $\psi_1$ во всех без исключения членах уравнения.
В рассматриваемом случае электронная и позитронная составляющие спинорной волновой функции имеют по две компоненты $\psi_1$ и $\psi_4$, которые подчиняются системе дираковских уравнений для электрона

$$(\varepsilon-m)\psi_1+i\frac {\partial \psi_4}{\partial x}-ieA_y\psi_4=0,\,\,\,(1a)$$

$$(\varepsilon+m)\psi_4+i\frac {\partial \psi_1}{\partial x}+ieA_y\psi_1=0,\,\,\,(1b)$$

и для позитрона

$$(\varepsilon+m)\psi_1+i\frac {\partial \psi_4}{\partial x} - ieA_y\psi_4=0,\,\,\,(2a)$$

$$(\varepsilon-m)\psi_4+i\frac {\partial \psi_1}{\partial x}+ieA_y\psi_1=0.\,\,\,(2b)$$

Решая совместно уравнения группы (1), получаем следующее уравнение второго порядка для электронной составляющей волновой функции $\psi_1:$

$$\frac {\partial^2 \psi_1}{\partial x^2}+[(\varepsilon^2-m^2) - eH_z -e^2A_y^2] \psi_1=0.\,\,\,(3) $$

Точно такое же уравнение получается и для позитронной составляющей волновой функции. Исключение в комбинированном решении компоненты $\psi_4$ возможно в случае противоположных знаков указанных компонент в электронных и позитронных уравнениях. В этом случае из уравнений (1a) и (2a) определяется соотношение амплитуд позитронной и электронной составляющих компонент $\psi_1$

$$\frac {\psi_{1b}} {\psi_{1a}} = -\frac {\varepsilon-m}{\varepsilon+m}.$$

Спиновый момент рассматриваемого электронного состояния равен $\frac 12,$ поскольку однокомпонентная волновая функция $\psi=(\psi_1,\,0,\,0,\,0)$ является собственной функцией оператора момента $M^{12}=\frac 12 \sigma^{12}$ с собственным значением $\frac 12.$ Напомним, что матрица $\sigma^{12}$ имеет вид

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}.$$

Возвращаясь к уравнению второго порядка для компоненты волновой функции $\psi_1$, и подставляя в него значения векторного потенциала и напряженности магнитного поля, получим следующее уравнение

$$\frac{\partial^2\psi_1} {\partial x^2}+(\varepsilon^2-m^2-3d \,x^2-d^2x^6)\psi_1=0,$$

где $d=ea.$
Это уравнение близко к уравнению для осциллятора Клейна-Гордона с электрической ловушкой электрона, обсуждавшегося в рамках темы "Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака" и подробно рассмотренного в статье автора, размещенной по адресу http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 13022.html. Не вдаваясь в подробности решения этого уравнения, заметим, что оно близко к решению для линейного осциллятора Шредингера, однако отличается от последнего, прежде всего, отсутствием энергетической эквидистантности соседних квантовых состояний.

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #812600 писал(а):

Указанные новые операторы моментов могут быть получены вариационным методом при использовании уточненного лагранжиана уравнений Дирака, который отличается от принятого (см. Ахиезер, Берестецкий, КЭД, 1969, (8.8.1)) добавочным членом

$$\frac i {2m}\,\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x^k}\sigma^{kl}\frac{\partial\psi}{\partial x^l},$$

равным дивергенции вектора $s^k\,=\,\frac i {2m}\,\bar{\psi}\,\sigma^{kl} \frac{\partial\psi}{\partial x^l}$, и поэтому не изменяющим вида волновых уравнений.

Сделаю небольшое замечание. Ваш Лагранжиан не является калибровочно инвариантным. Чтобы он стал калибровочно инвариантным небходимо частные производные от спинорного поля заменить на ковариантные:

$$\nabla_{\mu} \psi = \partial_{\mu} \psi - \frac{i e}{c \hbar} A_{\mu} \psi + \frac{1}{4} \omega_{\mu \alpha \beta} \sigma^{\alpha \beta} \psi, \qquad \sigma^{\alpha \beta} = \frac{1}{2}[\gamma^{\alpha}, \gamma^{\beta}] $$

Однако при этом дивергенция вектора $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi$ примет чуть более сложный вид:

$$ \nabla_{\mu} \left( \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi \right) = \left( \nabla_{\mu} \bar\psi \right) \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi + \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \left( \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} \psi \right) $$

Поскольку $\sigma^{\mu \nu}$ антисимметрична, то

$$\sigma^{\mu \nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} \psi = \frac{1}{2} \sigma^{\mu \nu} ( \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} - \nabla_{\nu} \nabla_{\mu} ) \psi $$

Пользуясь определением ковариантной производной от спинорного поля получаем:

$$ ( \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} - \nabla_{\nu} \nabla_{\mu} ) \psi = - \frac{i e}{c \hbar} F_{\mu \nu} \psi + \frac{1}{4} R_{\mu \nu \alpha \beta} \sigma^{\alpha \beta} \psi$$

В результате, для дивергенции имеем следующее выражение:

$$ \nabla_{\mu} \left( \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi \right) = \left( \nabla_{\mu} \bar\psi \right) \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi - \frac{i e}{2 c \hbar} F_{\mu \nu} \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \psi + \frac{1}{8} R_{\mu \nu \alpha \beta} \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \sigma^{\alpha \beta} \psi $$

Интересно было бы увидеть скорректированное выражение для момента при ненулевых $F_{\mu \nu}$ и $R_{\mu \nu \alpha \beta}$.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #820309 писал(а):

Сделаю небольшое замечание. Ваш Лагранжиан не является калибровочно инвариантным. Чтобы он стал калибровочно инвариантным небходимо частные производные от спинорного поля заменить на ковариантные... В результате, для дивергенции имеем следующее выражение:

$$ \nabla_{\mu} \left( \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi \right) = \left( \nabla_{\mu} \bar\psi \right) \sigma^{\mu \nu} \nabla_{\nu} \psi - \frac{i e}{2 c \hbar} F_{\mu \nu} \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \psi + \frac{1}{8} R_{\mu \nu \alpha \beta} \bar\psi \sigma^{\mu \nu} \sigma^{\alpha \beta} \psi $$

Интересно было бы увидеть скорректированное выражение для момента при ненулевых $F_{\mu \nu}$ и $R_{\mu \nu \alpha \beta}$.

Уважаемый SergeyGubanov, я рассматривал интересующий Вас вопрос. Только мне непривычны Ваша терминология и подход к проблемам квантовой механики (КМ). Дело в том, что я не вижу в литературе и сам не рассматриваю волновые уравнения КМ в криволинейном пространстве. Вместо термина колибровочно-инвариантные уравнения и выражения я говорю об уравнениях и выражениях для свободной и связанной частицы, имея в виду отсутствие или наличие электромагнитного поля. А выражения для взаимодействующего поля я получаю методом "удлинения производной" при учете принципа минимальности в неоднозначных случаях. Результаты моих изысканий в этой части отражены в статье "Об одном варианте симметричного описания электронов и позитронов".

Выражения для спинового момента и тензора взаимодействующего электрона получались на основе тензоров свободного поля вышеуказанным методом удлинения производной, и они не представляют большого интереса. Более интересны выражения для плотности электрического тока-заряда электронного поля, который раскладывается на составляющую, связанную с переносом заряда и составляющую, связанную с неоднородностью плотности магнитного момента электронного поля, а также выражения для истоков тензора энергии-импульса и истоков спинмомента поля, которые я привожу ниже.

$$J^i=ie\bar{\psi}\gamma^i \psi= \frac {ie}{2m}(\frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x_i} \psi - \bar{\psi} \frac {\partial \psi} {\partial x_i}+2ieA^i \bar{\psi}\psi)+\frac {e} {2m} \frac {\partial (\bar{\psi} \sigma^{ki} \psi)} {\partial x^k} = J^i_{\text{зар}} +J^i_{\text{спин}}.\,\,\, (4)$$

Здесь правая часть выражения представляет плотность полного электрического тока-заряда электронного поля, который включает ток переноса электрических зарядов и ток, связанный с распределением магнитного момента электронного поля.

$$\frac {\partial T^{ik}}{\partial x^k} = F^{ik} J^k_\text{зар} + \frac 1 2 \frac {\partial F^{kl}} {\partial x_i} \mu^{kl},\,\,\,(5)$$

$$\frac {\partial M^{ikl}} {\partial x^l}\,=\,F^{kl} \mu^{il} - F^{il} \mu^{kl},\,\,\,(6)$$

где $\mu^{il} = -\frac {e} {2m} \bar{\psi} \sigma^{il}\psi$ - тензор спинового магнитоэлектрического момента электрона. При записи в интегральной форме выражение (6) описывает ларморову прецессию электрона и спиновое смещение центра масс движущегося электрона. Замечу также, что в выражении (5) второй член описывает разделение и смещение электронного пучка, наблюдаемое в опыте Штерна-Герлаха.

О.Львов

[SergeyGubanov]

Уважаемый О.Львов, грамотно расставлять контра и ковариантные тензорные индексы необходимо не только в искривлённом пространстве.

В формуле для тока (4) три знака равенства, так задумано?

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #820737 писал(а):

Уважаемый О.Львов, грамотно расставлять контра и ковариантные тензорные индексы необходимо не только в искривлённом пространстве.

Уважаемый SergeyGubanov, если Вы смотрели мои предыдущие сообщения, то поняли, что имеет место использование ортогонального комплексного пространства, в котором нет различия верхних и нижних индексов. Формально ошибки в отношении расстановки индексов у меня нет, но я признаю неуместность отсутствия однообразия в их расстановке.

SergeyGubanov в сообщении #820737 писал(а):

В формуле для тока (4) три знака равенства, так задумано?

Действительно, было задумано показать, что вектор плотности тока-заряда может быть представлен в различных формах записи.

О.Львов

[Lvov]

Lvov в стартовом сообщении #812600 писал(а):

Координатные индексы в 4-свертках принимают значения $k=(1,\, 2,\, 3,\, 4)$. Кроме того принято $c=1, \hbar=1$. Таким образом $x^4=it...$

Lvov в сообщении #820802 писал(а):

...имеет место использование ортогонального комплексного пространства, в котором нет различия верхних и нижних индексов.

Во избежание дальнейших недоразумений дополнительно поясню, что из прагматических соображений во избежание путаницы верхних и нижних индексов, следуя КЭД Ахиезера-Берестецкого (изд. 3, 1969), я использую систему координат ортогонального комплексного пространства, где можно не делать различия верхних и нижних индексов, (см. П.К.Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ", изд.3, 1967,пар.42, "Ортонормированный репер"). Признаю, что в этом случае разумно придерживаться единообразного способа расстановки индексов. Например, у Ахиезера-Берестецкого преимущественно используются нижние индексы, но и у них изредка наблюдается нарушение указанного правила.

С уважением О.Львов

[Lvov]

В этом сообщении продолжено рассмотрение показателей электрона в потенциальном ящике при использовании дираковской волновой функции и комбинированной электронно-позитронной волновой функции.
В стартовом сообщении приведен пример 2) волновой функции электрона в потенциальном ящике с высоким запирающим потенциалом в основном квантовом состоянии. Указанная там электронная волновая функция

$$ \psi_\text{эл} = \left (\frac {m+\varepsilon} {2m} \cos (px),\, 0, \,0, \,\frac {ip} {2m} \sin (px) \right ) \exp (-i \varepsilon t)\,$$

легко обобщается на случай возбужденного состояния электрона. При этом вид волновой функции остается прежним при изменении энергии и импульса электрона, который теперь приобретает значение $p=\frac {(2n+1)\pi} {d},$ где $n$ - номер квантового состояния.

В сообщении post820405.html указана формула для плотности тока-заряда дираковского электронного поля (4), в которой фигурирует широко известный одночленный вариант представления вектора плотности тока, а также менее известный двучленный вариант его представления в виде суммы плотности зарядового и спинового токов.
Вычисляя по приведенной формуле плотности полного заряда и тока, получим следующие выражения для двух отличных от нуля его компонент

$$J^0_\text{полн}=-e\,\left [\left (\frac {m+\varepsilon} {2m}\right )^2\cos^2(px)+\frac {p^2}{4m^2}\sin^2(px)\right ]$$

$$J^y_\text{полн}=e \frac {(m+\varepsilon)p}{4m^2}\sin(2px).$$

Продольная составляющая плотности тока $J^x=0$ ввиду наличия двух одинаковых встречных потоков электронной волны, а поперечная спиновая составляющая отлична от нуля, ввиду непостоянства модуля амплитуды волновой функции в направлении движения электронных волн.
Для зарядовой и спиновой компонент плотности заряда рассматриваемого электронного состояния, соответственно, получаем:

$$J^0_\text{зар}= -e \frac \varepsilon m \left [\left (\frac {m+\varepsilon} {2m}\right )^2\cos^2(px)-\frac {p^2}{4m^2}\sin^2(px)\right ],$$

$$J^0_\text{спин}= e \left (\frac {(m+\varepsilon)p^2} {8m^3}(\cos^2(px)-\sin^2(px))\right ).$$

Несколько странно, что здесь плотность заряда основной составляющей $J^0_\text{зар}$ меняет знак вдоль оси движения электрона $x$, впрочем полная плотность заряда с учетом спиновой добавки всюду имеет отрицательный знак.

Теперь рассмотрим составляющие плотности заряда-тока при наличии комбинированной электронно-позитронной волновой функции, указанной в стартовом сообщении, которая имеет вид:

$$\psi=(\cos(px),\, 0,\, 0,\, 0)\,\exp (-i\varepsilon t).$$

В этом случае также отличны от нуля две компоненты рассматриваемого 4-вектора, но теперь плотность заряда полностью определяется первой его составляющей $J^0_\text{зар}$, а спиновая составляющая определяет лишь значение поперечного тока $J^y_\text{спин}.$ Указанным составляющим отвечают следующие выражения:

$$J^0_\text{зар}= -e \frac \varepsilon m \cos^2(px),\;J^y_\text{спин}=e \frac {p}{2m}\sin(2px).$$

Последние выражения для плотности заряда и тока кажутся более реалистичными по сравнению с указанными выше дираковскими решениями для тех же величин, ввиду того, что в отличие от дираковских решений здесь волновая функция и плотность заряда равны нулю на границе области с бесконечно высоким запирающим потенциалом.