Достаточное качественное описание Кантрова множества.

[mike239x]

Итак, задачка по топологии, с которой я на данный момент так и не справился:
Есть топологическое пространство $X$. Известно, что оно:
- хаусдорфово;
- компактно;
- сепарабельно;
- вполне несвязно (все компоненты связности - точки);
- без изолированных точек (открытое множество - не точка).
Требуется доказать, что $X$ гомеоморфно Кантрову множеству, или привести контрпример.
Впрочем, если кто предъявит доказательство, где будет использовано ещё какое-нибудь свойство, то я тоже буду весьма рад.

[g______d]

По-моему, в Вики есть ответ на вопрос, и ссылки на источники тоже:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_space

[mike239x]

Хм, благодарю. Хотя условие "имеет счётную базу из замкнутых множеств" кажется мне своеобразным.

[g______d]

О, да, можно воспользоваться различием между счетностью базы и сепарабельностью и сказать, что $\{0,1\}^{\mathbb N}$ и $\{0,1\}^{2^{\mathbb N}}$ удовлетворяют условиям и не гомеоморфны (оба сепарабельны, поскольку http://en.wikipedia.org/wiki/Separable_ ... untability).

[Someone]

mike239x в сообщении #820530 писал(а):

условие "имеет счётную базу из замкнутых множеств" кажется мне своеобразным

По-моему, там "clopen sets", то есть, открыто-замкнутые множества.

Без требования счётности базы утверждение неверно. Кроме уже упомянутого $D^{\mathfrac c}$ есть и более простые для восприятия примеры: "две стрелки Александрова", например.