Случайная величина, теория вероятности

[Felt]

$X_1 \sim U(0,1)$, $X_2 \sim U(1,3)$, а так же они независимы. Необходимо найти распределение случайной величины $Y=X_1 / X_2$.
Я решал так: заводим ещё одну случайную величину $Y_2=X_1$, a $Y_1=X_1 / X_2$. Затем находим якобиан обратного отображения, получается $J=y_2$.
По теореме $f_{Y_1, Y_2}=f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2}(x_2) |J|=f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2}(x_2) \cdot y_2$.
Затем мне нужно проинтегрировать по $y_2$, чтобы получить распределение по $y_1$.
$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X_1}(y_1 \cdot y_2) \cdot f_{X_2}(y_2) y_2$
Так как были подставлены переменные y в первоначальные распределения, то должны быть соблюдены и границы интегрирования, которые выглядят так:
$0 \leq y_1 \cdot y_2 \leq 1$ -> $0 \leq y_2 \leq \frac{1}{y_1}$
$1 \leq y_2 \leq 3$
Из обоих условий можем вывести границы $1 \leq y_2 \leq \frac{1}{y_1}$, где соответственно для $\frac{1}{y_1}$ должно выполняться
$1 \leq \frac{1}{y_1} \leq 3$ -> $\frac{1}{3} \leq y_1 \leq 1$
После интегрирования получаю функцию $f_{y_1}=\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{y_1^2}-1)$ на
$(1/3, 1)$, которая и должна быть искомым распределением, однако не является функцией распределения вообще, потому что проинтегрировав не получается 1. Где я делаю ошибку?

[ShMaxG]

1. Я бы считал распределение нужной величины "в лоб", воспользовавшись "интегральной формулой полной вероятности", и не мудрил бы с преобразованием вектора.

2. Не аккуратно все выписываете. Почему якобиан равен $y_2$? Почему плотность $Y$ зависит и от иксов, и от игрека? С границами напутали, совершенно четко должно возникнуть две области по $y_1$: от 0 до $1/3$ и от $1/3$ до 1.

3. Проинтегрировав Вы нашли плотность. Да, она не является функцией распределения, это и так ясно.

4. С учетом замечаний верно найдите плотность $Y_2$ при всех значениях $y_1$ и будет счастье.

[--mS--]

$Y_2=X_2$, а не $X_1$.

Felt в сообщении #819472 писал(а):

Из обоих условий можем вывести границы $1 \leq y_2 \leq \frac{1}{y_1}$, где соответственно для $\frac{1}{y_1}$ должно выполняться
$1 \leq \frac{1}{y_1} \leq 3$ -> $\frac{1}{3} \leq y_1 \leq 1$

Ничего не должно выполняться для $y_1$. Область интегрирования есть пересечение отрезков $1 \leqslant y_2 \leqslant \frac{1}{y_1}$ и $1\leqslant y_2 \leqslant 3$. Если $y_1<1/3$, то интегрировать следует по $1\leqslant y_2 \leqslant 3$. Остальное всё верно.

[Felt]

--mS-- в сообщении #819525 писал(а):

$Y_2=X_2$, а не $X_1$.

Felt в сообщении #819472 писал(а):

Ничего не должно выполняться для $y_1$. Область интегрирования есть пересечение отрезков $1 \leqslant y_2 \leqslant \frac{1}{y_1}$ и $1\leqslant y_2 \leqslant 3$. Если $y_1<1/3$, то интегрировать следует по $1\leqslant y_2 \leqslant 3$. Остальное всё верно.

Да, я конечно опечатался со вторым игреком, а якобиан посчитал правильно.

А почему интегрируется не по $1 \leq y_2 \leq 1/y_1$? Ведь в аналогичном примере для поиска распределения случайной величины $Y=\frac{X_1+X_2}{2}$ и при заведении дополнительной переменной в границах интегрирования вылезал бы переменная $y_1$, чисто математически не пойму почему обе границы должны быть численные...

Но даже если так, то ответ получается 3, что снова похоже на равномерное распределение, то какой будет интервал, где функция будет иметь значение 3?

[--mS--]

При каких $y_1$ получается $3$ (да и не три вовсе!)?
В каких пределах меняется переменная интегрирования при $1/3 \leqslant y_1 \leqslant 1$?
В каких пределах меняется переменная интегрирования при $0 \leqslant y_1 \leqslant 1/3$?

[Felt]

Я имел в виду 3 получается, если проинтегрировать по $1 \leq y_2 \leq 3$ . Затем для меня неясными остаются область, на которой принимает это значение искомая функция распределния

[Otta]

Что три? где три? почему три?
не можете словами, пишите формулы.
Какой интеграл Вы считаете.
От какой функции.
На каких участках чему и почему равна эта функция.

А то совсем за гранью рассудка: я тут что-то нашел, объясните мне, почему и где это правильно.
Да ни почему.

[--mS--]

Да. И я очень хочу получить ответы на каждый из трёх заданных двумя сообщениями выше вопросов. На каждый в отдельности.

[Felt]

--mS--
1)посчитал быстро и сделал ошибку, не обращайте внимания на 3.
2)при этих значениях $1 \leq y_2 \leq 3$
3) $1 \leq y_2 \leq +\infty$

Вот что выходит:
Если считать, как написал --mS--, по пределам интегрирования $1 \leq y_1 \leq 3$, то выходит
$\int_{1}^{3} \frac{1}{2} y_2 dy_2=2$
Что делать дальше - не совсем понимаю, потому что с одной стороны значения $y_1$ должны удовлетворять условию $\frac{1}{3} \leq y_1 \leq 1$ потому что выше я интегрировал именно согласно этому условию. Если нет - то как ещё установить границы интегрирования - не знаю. Но если оставить именно эти границы, то интеграл по ним не даст 1.

[--mS--]

Felt в сообщении #820167 писал(а):

2)при этих значениях $1 \leq y_2 \leq 3$

Неправильно.

Felt в сообщении #820167 писал(а):

3) $1 \leq y_2 \leq +\infty$

Неправильно.

Вы понимаете, что ищете функцию от переменной $y_1$? Функция от $y_1$ - это такая штука, которая при одном $y_1$ равна чему-то, а при другом, возможно, чему-то другому. В зависимости от значения $y_1$ область интегрирования разная:

--mS-- в сообщении #819525 писал(а):

Область интегрирования есть пересечение отрезков $1 \leqslant y_2 \leqslant \frac{1}{y_1}$ и $1\leqslant y_2 \leqslant 3$. Если $y_1<1/3$, то интегрировать следует по $1\leqslant y_2 \leqslant 3$.

Прочтите ещё раз и найдите правильный ответ на один из вопросов. Потом в своём первом собщении найдите правильный ответ на другой вопрос. Выпишите ответ - какая плотность $f_{Y_1}(y_1)$ получилась.