Вопрос, связанный с переходом к новому базису

[BENEDIKT]

Хотелось бы задать ещё один вопрос, связанный с этой темой.

(О переходе к новому базису)

BENEDIKT в сообщении #819499 писал(а):

В параграфе "Переход к новому базису" присутствует следующий фрагмент:

Пусть в пространстве $R$ имеются два базиса: старый $e_1, e_2,...,e_n$ и новый $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

$$ \begin{cases} e_1^*=a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n\\ e_2^*=a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n\\ ..................................................\\ e_n^*=a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n \end{cases} $$

Полученная система означает, что переход от старого базиса $e_1, e_2,...,e_n$ к новому $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ задаётся матрицей перехода:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \qquad ​$$​
причём коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.
Найдём зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор $x$ имеет координаты $x_1, x_2,...,x_n$ относительно старого базиса и координаты $x_1^*, x_2^*,...,x_n^*$ относительно нового базиса, т. е. $x=x_1^* e_1^*+ x_2^* e_2^*+...+x_n^* e_n^* =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$

Цитата:

Подставив значения $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ из представленной выше системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

$$ \begin{cases} x_1=a_{11} x_1^* + a_{21} x_2^*+...+ a_{n1}x_n^*\\ x_2=a_{12} x_1^* + a_{22} x_2^*+...+ a_{n2}x_n^*\\ ..................................................\\ x_n=a_{1n} x_1^* + a_{2n} x_2^*+...+ a_{nn}x_n^* \end{cases} $$

BENEDIKT писал(а):

Мне ясно, почему каждый вектор нового базиса есть линейная комбинация векторов старого

Далее следовало крайне поверхностное изложение, связанное с непониманием сути. Надеюсь, теперь действительно разобрался.
Пусть в базисе $e_1, e_2,...,e_n$ задаётся произвольный вектор а. Пространство $n$-мерное, т. е. он имеет $n$ координат.
Насколько я понимаю, каждый из базисных векторов имеет лишь одну ненулевую координату, остальные $n-1$ его координат равны нулю. Сумма базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты, определяет $n+1$ - й вектор а. Указанные коэффициенты являются координатами вектора а.
Таким образом, вектор а определяется как сумма произведений коэффициентов - координат вектора а на базисные вектора, лежашие на соответствующих осях. Т. е. вектор а является линейной комбинацией базисных векторов.
При рассмотрении двух базисов векторного пространства, старого $e_1, e_2,...,e_n$ и нового e_1^*, e_2^*,...,e_n^*, любой из векторов $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ нового базиса задаётся в старом базисе $e_1, e_2,...,e_n$, как обычный (небазисный для $e_1, e_2,...,e_n$) вектор. Соответственно, как и вектор а, любой из векторов e_1^*, e_2^*,...,e_n^* есть линейная комбинация векторов старого базиса.

А на этот вопрос ответ пока не найден:

Цитата:

Но почему то же самое распространяется на координаты рассматриваемого в двух базисах вектора? Почему координата в одном базисе, к примеру, абсцисса, задаётся через все координаты в другом, например, абсциссу, ординату и аппликату?

Прошу прощения за непонятливость. Мне всё же хотелось бы понять, почему каждая координата вектора $x$ в старом базисе линейно выражается через все координаты данного вектора в новом базисе:

$$ \begin{cases} x_1=a_{11} x_1^* + a_{21} x_2^*+...+ a_{n1}x_n^*\\ x_2=a_{12} x_1^* + a_{22} x_2^*+...+ a_{n2}x_n^*\\ ..................................................\\ x_n=a_{1n} x_1^* + a_{2n} x_2^*+...+ a_{nn}x_n^* \end{cases} $$

Имеется в виду: в чём математический смысл этих равенств? Интуитивно он ощушается, но это ничто.

Имеем вектор $x$, заданный в старом базисе $e_1, e_2,...,e_n$ и в новом базисе e_1^*, e_2^*,...,e_n^* $n$ - мерного векторного пространства.
Каждый из векторов $e_j^*$ базиса e_1^*, e_2^*,...,e_n^* есть линейная комбинация векторов e_1^*, e_2^*,...,e_n^*.
$e_j^*$ определяется как сумма произведений векторов e_1^*, e_2^*,...,e_n^* на коэффициенты, задаваемые в $j$ - м столбце матрицы перехода:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \qquad ​$$​
Но почему любая координата вектора $x$ в старом базисе $e_1, e_2,...,e_n$ определяется через сумму произведений координат $x$ в новом базисе на элементы матрицы перехода?
Векторы, задающие новый базис, есть линейные комбинации векторов старого. Но как можно выразить координаты вектора $x$ в новом базисе через значения базисных векторов? В этом случае, наверное, можно было бы описать зависимость координат вектора в новом базисе от его координат в старом?

[mihailm]

BENEDIKT в сообщении #819866 писал(а):

...
Мне всё же хотелось бы понять, почему каждая координата вектора $x$ в старом базисе линейно выражается через все координаты данного вектора в новом базисе:...

Берем произвольный (но фиксированный) вектор.
Раскладываем по каждому из базисов новому и старому, раскладывайте

(Оффтоп)

Извиняюсь перед математической общественностью за бессмысленное дополнение "фиксированный", но так, судя по опыту, понимание лучше (хотя может и не прав)

[SpBTimes]

BENEDIKT в сообщении #819866 писал(а):

Насколько я понимаю, каждый из базисных векторов имеет лишь одну ненулевую координату, остальные $n-1$ его координат равны нулю.

Это не обязательно, это лишь один из возможных базисов.

А зависимость описать - конечно. Через матрицу перехода. Распишите все равенства поподробнее.

[BENEDIKT]

mihailm в сообщении #819871 писал(а):

Раскладываем по каждому из базисов новому и старому, раскладывайте

SpBTimes в сообщении #819892 писал(а):

Распишите все равенства поподробнее.

В новом базисе вектор $x$ равен:

$x=x_1^* e_1^*+ x_2^* e_2^*+...+x_n^* e_n^*$

Тогда, учитывая, что

$\begin{cases} e_1^*=a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n\\ e_2^*=a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n\\ ..................................................\\ e_n^*=a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n \end{cases} $
имеем:

$x=x_1^* (a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n)+ x_2^* (a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n)+...+x_n^* (a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n)$

В старом базисе вектор $x$ равен:

$x=x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$

Как объяснили уважаемые участники форума, это выражение легко преобразуется так, что если подставить в равенство
$x_1^* e_1^*+ x_2^* e_2^*+...+x_n^* e_n^* =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$ значения $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$, то получим:

$x_1^* (a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n)+ x_2^* (a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n)+...+x_n^* (a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n) =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$

$x_1^* a_{11} e_1 + x_1^* a_{12} e_2+...+ x_1^* a_{1n}e_n+ x_2^* a_{21} e_1 + x_2^* a_{22} e_2+...+ x_2^* a_{2n}e_n+...+x_n^* a_{n1} e_1 + x_n^* a_{n2} e_2+...+ x_n^* a_{nn}e_n =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$

$(x_1^* a_{11} e_1 +x_2^* a_{21} e_1++x_n^* a_{n1} e_1)+ (x_1^* a_{12} e_2+... + x_2^* a_{22} e_2+...+x_n^* a_{n2} e_2)+...+(x_1^* a_{1n}e_n+x_2^* a_{2n}e_n+... + x_n^* a_{nn}e_n)=x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$

Затем значения векторов нового базиса выносятся за скобки:
$e_1(x_1^* a_{11} +x_2^* a_{21}+...+x_n^* a_{n1})+ e_2(x_1^* a_{12}+... + x_2^* a_{22} +...+x_n^* a_{n2})+...+e_n(x_1^* a_{1n}+x_2^* a_{2n}+... + x_n^* a_{nn})=x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$
Но как доказать при этом, что

$x_1=x_1^* a_{11} +x_2^* a_{21}+...+x_n^* a_{n1}$
$x_2=x_1^* a_{12}+... + x_2^* a_{22} +...+x_n^* a_{n2}$
$x_n=x_1^* a_{1n}+x_2^* a_{2n}+... + x_n^* a_{nn}$

Ведь из того, что $ax+by+cz=am+bn+cl$ не следует, что $x=m, y=n, z=l$?
Равенство может соблюдаться при том, что значения неизвестных $x, m, y, n, z, l$ могут варьироваться?

А главный вопрос состоит в следующем. Посредством нужных преобразований установлена зависимость между координатами вектора в старом базисе и координатами в новом:
$\begin{cases} x_1=a_{11} x_1^* + a_{21} x_2^*+...+ a_{n1}x_n^*\\ x_2=a_{12} x_1^* + a_{22} x_2^*+...+ a_{n2}x_n^*\\ ..................................................\\ x_n=a_{1n} x_1^* + a_{2n} x_2^*+...+ a_{nn}x_n^* \end{cases}$
Возможно, это глупый вопрос, но в чём математический смысл этих равенств? Точнее, наверное, геометрический смысл? Скажем, с векторами всё понятно и нетрудно представить, почему каждый вектор нового базиса есть линейная комбинация векторов старого. А в случае с координатами непонятно.
Откуда там линейная комбинация и элементы матрицы перехода? Последняя задаёт переход от старого базиса к новому. Почему же матрица-столбец координат вектора в новом базисе умножается на эту матрицу перехода?

SpBTimes в сообщении #819892 писал(а):

Это не обязательно, это лишь один из возможных базисов.

А если представить это наглядно, базисные вектора разве не задают положение координатных осей в конкретном базисе пространства? Координаты вектора в пространстве "привязаны" именно к базисным векторам?

[patzer2097]

BENEDIKT в сообщении #820028 писал(а):

Затем значения векторов нового базиса выносятся за скобки:
$e_1(x_1^* a_{11} +x_2^* a_{21}+...+x_n^* a_{n1})+ e_2(x_1^* a_{12}+... + x_2^* a_{22} +...+x_n^* a_{n2})+...+e_n(x_1^* a_{1n}+x_2^* a_{2n}+... + x_n^* a_{nn})=x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$
Но как доказать при этом, что

$x_1=x_1^* a_{11} +x_2^* a_{21}+...+x_n^* a_{n1}$
$x_2=x_1^* a_{12}+... + x_2^* a_{22} +...+x_n^* a_{n2}$
$x_n=x_1^* a_{1n}+x_2^* a_{2n}+... + x_n^* a_{nn}$

Ваши $n$ равенств следуют из предыдущего в силу единственности разложения заданного вектора по базису (Я еще в той теме Вам об этом писал.)

-- Вт янв 28, 2014 18:18:44 --

BENEDIKT в сообщении #820028 писал(а):

А если представить это наглядно, базисные вектора разве не задают положение координатных осей в конкретном базисе пространства? Координаты вектора в пространстве "привязаны" именно к базисным векторам?

понимаете, у Вас есть линейное пространство. Там нет никаких координатных осей и ничего ни к чему не привязано. У Вас есть только два базиса и какой-то вектор $v$; Вы определяете матрицу перехода и благодаря ей можете вычислять координаты $v$ в новом базисе, если знаете только координаты в старом, и наоборот.

[SpBTimes]

BENEDIKT в сообщении #820028 писал(а):

Но как доказать при этом, что

Докажите теоремку, что разложение по базису единственно

[svv]

Вот бы ещё какую-то компактную запись использовать.

[mihailm]

BENEDIKT в сообщении #820028 писал(а):

...А если представить это наглядно, базисные вектора разве не задают положение координатных осей в конкретном базисе пространства? Координаты вектора в пространстве "привязаны" именно к базисным векторам?

Что вы не понимаете пока не понятно)
Координатные оси такие как в школе - они наверно все-таки из аффинного пространства (это такое обобщение векторного/линейного пространства), без них что никак?
Координаты вектора привязаны к базису, конкретному базису, меняется базис меняются координаты.

[provincialka]

Рассмотрим такой "базис":

первый набор ($2$ конфеты + $3$ шоколадки + $1$ яблоко)
второй набор ($1$ конфета + $2$ шоколадки + $4$ яблока)
третий набор ($10$ конфет)

Координаты "вектора" Вася равны 4 и 5. То есть он ухитрился получить в подарок от деда Мороза 4 первых набора и 5 вторых.
Перейдем к базису $e_1=$ конфета, $e_2=$ шоколадка, $e_3=$ яблоко. В этом новом базисе получаем такие координаты:

$k=4\cdot2+5\cdot1+0\cdot10 = 13$ - число конфет;
$c=4\cdot3+5\cdot2+0\cdot0 = 22$ - число шоколадок;
$a=4\cdot1+5\cdot4+0\cdot0 = 24$ - число яблок.

Замечаете закономерность? И есть ли здесь какие-то "оси"?

[BENEDIKT]

Огромное спасибо всем за помощь.

patzer2097 в сообщении #820032 писал(а):

Ваши $n$ равенств следуют из предыдущего в силу единственности разложения заданного вектора по базису

SpBTimes в сообщении #820064 писал(а):

Докажите теоремку, что разложение по базису единственно

Теперь ясно. Дошло, что координаты у вектора в базисе $e_1, e_2,..., e_n $ одни и те же.

patzer2097 в сообщении #820032 писал(а):

У Вас есть только два базиса и какой-то вектор $v$; Вы определяете матрицу перехода и благодаря ей можете вычислять координаты $v$ в новом базисе, если знаете только координаты в старом, и наоборот.

Кажется, ясно.

(Оффтоп)

Если я правильно понял, значения элементов матрицы перехода - не что иное, как координаты векторов, задающих новый базис $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ в базисе старом $e_1, e_2,...,e_n$ В то же время координаты вектора $x_1^*, x_2^*,...,x_n^*$ выражены, естественно, в новом базисе. Поэтому они и умножаются на элементы матрицы перехода - координаты "новых" базисных векторов. Не совсем понятно только, почему координаты вектора в новом базисе умножаются на строку, а не столбец матрицы перехода, т. е. при этом используется транспонированная матрица перехода. Вероятно, потому, что по строке расположены коэффициенты, задаюшие координаты базисных векторов нового базиса по тому базисному вектору базиса старого, который соответствует искомой координате вектора в старом базисе? Т. o. при переходе от старого базиса к новому матрица-строка старого базиса умножается на соответствующий столбец матрицы перехода. При перемножении этих матриц получется, что каждый элемент какой-либо строки матрицы перехода умножается на один и тот же вектор старого базиса. А при переходе от координат в новом базисе к координатам старого для задания соответствующей координаты необходимы координаты векторов нового базиса, задаваемые по соответствующему базисному вектору старого базиса. Прошу прощения за ужасный слог.
Таким образом, координаты вектора задаются в старом базисе, а поскольку они единственны, то очевидно, что они и являются координатами вектора в старом базисе.

patzer2097 в сообщении #820032 писал(а):

понимаете, у Вас есть линейное пространство. Там нет никаких координатных осей и ничего ни к чему не привязано.

mihailm в сообщении #820077 писал(а):

Координатные оси такие как в школе - они наверно все-таки из аффинного пространства (это такое обобщение векторного/линейного пространства), без них что никак?
Координаты вектора привязаны к базису, конкретному базису, меняется базис меняются координаты.

provincialka в сообщении #820087 писал(а):

Замечаете закономерность? И есть ли здесь какие-то "оси"?

Если я правильно понимаю, визуализация в данном случае вообще до добра не доведёт? И линейное\векторное пространство - это не "пространство" в геометрическом смысле? Т. е. пространство и базисы не следует понимать слишком упрощённо.
В несерьёзных источниках вроде Википедии всё равно прибегают к чертежам. Базисные векторы там изображаются лежащими на осях. Но это, насколько можно судить, используется лишь для простоты понимания?
И да, эта привычка определять "абсолютные" координаты объекта привита школьной математикой. Для это ведь и нужны оси.
Под "абсолютными" (простите за безграмотность) имеются в виду координаты, задаюшие конкретное положение объекта по осям (у вектора ими были бы координаты начальной и конечной точек), и которые в линейной алгебре сами по себе не важны.
Тогда ещё раз извиняюсь за непонятливость. Представление вектора, как направленного отрезка, расположенного в координатной системе, как я теперь понял, необходимо лишь для визуализации, рисунков, и представляет собой упрощение. Неизменна при изменении базиса лишь величина вектора и углы между ним и другими векторами. Как я понимаю, углы являются сами по себе геометрическим термином, но, исходя из абстрактной, а не геометрической в конечном счёте, природы векторов и пр., сами углы нужно рассмативать просто как величины, функционально зависящие от координат и абсолютных величин перемножаемых векторов (арккосинус частного от деления произведения векторов на произведение их абсолютных величин по теореме косинусов)? И сам по себе вектор определяется не геометрически, а более широко - как функция от координат и базисных векторов?

Осмелюсь задать ешё один вопрос (надеюсь, я не слишком утомил уважаемых участников форума). В некоторых случаях прикладная математика всё же может работать с векторами, как с чисто геометрическими объектами, задаными в системе координат и имеющими "абсолютные" координаты? Речь идёт о тех случаях, когда "пространство" - не просто абстрактный термин (как, например, в случае с применением его в экономике), но имеет геометрический смысл. И перемещения объектов в этом самом пространстве имеют значение. Например, при разработке игр (то, что связано с движением юнитов) или исследовании перемещений каких-либо материальных обьектов (может быть, в физике?).

[provincialka]

BENEDIKT в сообщении #820207 писал(а):

И сам по себе вектор определяется не геометрически, а более широко - как функция от координат и базисных векторов?

Нет, наоборот: координаты - как функции вектора и базиса. Вектор существует сам по себе. Вернее, существует векторное пространство, набор объектов, удовлетворяющих определенным свойствам. За это их и называют векторами.
Что касается геометрии - там есть некоторая сложность. Ведь привычное геометрическое пространство состоит не из векторов, а из точек (оно аффинное). Для задания вектора нужны две точки. Вектор не находится в каком-то определенном месте пространства. Правда, его можно отложить от нуля и смотреть, в какой точке конец. Но нужно всегда помнить различие между этой точкой и самим вектором.

[BENEDIKT]

Позвольте ещё один вопрос. Можно ли выразить координаты вектора через его величину и базис, если базис задан только один? Пусть в в базисе $e_1, e_2,..., e_n$ задан вектор $x$. Какой вид будет иметь эта функция?
Я просто пока не могу ничего придумать оригинальнее, чем $x_1=\frac{x-x_2 e_n-...-x_1 e_n}{e_1}$

[svv]

Сейчас единственной «формулой» для $x^k$ (не степень, а индекс, записанный вверху) пусть будет:
$k$-я координата вектора $x$ — коэффициент при базисном векторе $e_k$ в разложении $x=x^1 e_1+ x^2 e_2+...+x^n e_n$

Через полгодика можно будет взглянуть на формулу:
$x^k=\dfrac{(e_1,\; e_2, ... ,e_{k-1},\;x,\;e_{k+1},..., e_n)}{(e_1,\;e_2, ..., e_{k-1},\;e_k,\;e_{k+1},..., e_n)}$
Здесь в числителе и знаменателе смешанное произведение векторов.

(Оффтоп)

Ещё через полгодика:
$x^k={}^*(e_1\wedge e_2\wedge ... \wedge e_{k-1}\wedge x\wedge e_{k+1}\wedge ... \wedge e_n)$
По сути это то же, что в предыдущей формуле, только в более продвинутых обозначениях.

Через базисные ковекторы: $x^k=e^k(x)$.

Т.е. варианты есть, они ждут Вас в светлом будущем.

[BENEDIKT]

provincialka, svv

Благодарю Вас.

[Munin]

svv
Это слишком сложно.

Достаточно сказать, что для каждого базиса $e_1,e_2,\ldots,e_n$ есть сопряжённый ему кобазис $E^1,E^2,\ldots,E^n$ (специально обозначил большими буквами, чтобы подчеркнуть, что объекты $E^i$ - не векторы и не числа (координаты вектора в базисе), а некие новые объекты - ковекторы, т. е. векторы сопряжённого пространства).

Кобазис позволяет найти координаты вектора моментально: $x^k=(E^k,x).$

На $E^k$ можно взглянуть как на линейные функции: они заданы на линейном пространстве $R,$ и принимают скалярные значения - в поле коэффициентов этого пространства $K$ - то есть это функции $E^k\colon R\to K.$ Тогда $(E^k,x)$ - это просто другая запись для $E^k(x).$ График линейной функции - плоскость, причём в данном случае проходящая через 0. Если мы не хотим перегружать рисунок, то можно нарисовать скалярную функцию на пространстве $R$ поверхностями уровня. Тогда они будут образовывать систему параллельных плоскостей. Весь набор $e_1,e_2,\ldots,e_n$ за вычетом $e_k$ будет лежать в такой плоскости.

Если обратиться к примеру школьных векторов на евклидовой координатной плоскости, с действительными коэффициентами, то на $E^k$ можно взглянуть как на векторы, а на операцию $(E^k,x)$ - как на скалярное произведение векторов. Самое главное, что при этом надо понимать, что это - другие векторы, чем $e_k$ - они не совпадают ни по величине, ни по направлению. Но $E^k$ как векторы будут перпендикулярны плоскостям, упомянутым в предыдущем абзаце. И для каждого базисного вектора, чем длиннее $e_k,$ тем короче соответствующий ему по номеру вектор $E^k.$ Правда, вся эта идея с векторами - годится только для метрических линейных пространств. А бывают неметрические - просто в них не задано понятие длины вектора, и не задана операция скалярного произведения. Пример такого пространства - это пример provincialk-и с конфетами и шоколадками.

В общем, то, что написал svv, - это явные формулы для функций $E^k.$ Но важны не столько эти формулы, сколько само по себе понимание, что есть такой набор функций, и его использование позволяет мгновенно разложить любой вектор по базису.