Хотелось бы задать ещё один вопрос, связанный с
этой темой.
(О переходе к новому базису)
В параграфе "Переход к новому базису" присутствует следующий фрагмент:
Пусть в пространстве

имеются два базиса: старый

и новый

. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса

к новому

задаётся матрицей перехода:

причём коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.
Найдём зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор

имеет координаты

относительно старого базиса и координаты

относительно нового базиса, т. е.

Цитата:
Подставив значения

из представленной выше системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

BENEDIKT писал(а):
Мне ясно, почему каждый вектор нового базиса есть линейная комбинация векторов старого
Далее следовало крайне поверхностное изложение, связанное с непониманием сути. Надеюсь, теперь действительно разобрался.
Пусть в базисе

задаётся произвольный вектор

. Пространство

-мерное, т. е. он имеет

координат.
Насколько я понимаю, каждый из базисных векторов имеет лишь одну ненулевую координату, остальные

его координат равны нулю. Сумма базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты, определяет

- й вектор

. Указанные коэффициенты являются координатами вектора

.
Таким образом, вектор

определяется как сумма произведений коэффициентов - координат вектора

на базисные вектора, лежашие на соответствующих осях. Т. е. вектор

является линейной комбинацией базисных векторов.
При рассмотрении двух базисов векторного пространства, старого

и нового

, любой из векторов

нового базиса задаётся в старом базисе

, как обычный (небазисный для

) вектор. Соответственно, как и вектор

, любой из векторов

есть линейная комбинация векторов старого базиса.
А на этот вопрос ответ пока не найден:
Цитата:
Но почему то же самое распространяется на координаты рассматриваемого в двух базисах вектора? Почему координата в одном базисе, к примеру, абсцисса, задаётся через все координаты в другом, например, абсциссу, ординату и аппликату?
Прошу прощения за непонятливость. Мне всё же хотелось бы понять, почему каждая координата вектора

в старом базисе линейно выражается через все координаты данного вектора в новом базисе:

Имеется в виду: в чём математический смысл этих равенств? Интуитивно он ощушается, но это ничто.
Имеем вектор

, заданный в старом базисе

и в новом базисе

- мерного векторного пространства.
Каждый из векторов

базиса

есть линейная комбинация векторов

.

определяется как сумма произведений векторов

на коэффициенты, задаваемые в

- м столбце матрицы перехода:

Но почему любая координата вектора

в старом базисе

определяется через сумму произведений координат

в новом базисе на элементы матрицы перехода?
Векторы, задающие новый базис, есть линейные комбинации векторов старого. Но как можно выразить координаты вектора

в новом базисе через значения базисных векторов? В этом случае, наверное, можно было бы описать зависимость координат вектора в новом базисе от его координат в старом?