Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линией...

[Vova Iugniy]

Итак, надо найти площадь плоской фигуры, ограниченной линией
$(x^2 + y^2 )^2 = x^3 + y^3$

Что-то мне подсказывает, что надо перейти к полярным координатам...
После этого имеем: $\rho = \cos^3(\phi) + \sin^3(\phi)$

Теперь необходимо составить интеграл... Вот с этим то и проблема.

Помогите его написать.

[Brukvalub]

Vova Iugniy писал(а):

Помогите его написать.

Читаем здесь: http://dvoika.net/kurs1.html , разбираем примеры и все получится.

[Vova Iugniy]

Спасибо, сейчас попробую.

[нг]

Vova Iugniy
Ro — \rho $\rho$
fi — \phi $\phi$ или \varphi $\varphi$

[Vova Iugniy]

НГ, буду знать.
Хм, фигура напоминает 4х лепесточный цветок? Причем симметричный, т.е мона разбить площадь на 4 части и интеграл потом умножить на 4...

Интегрировать, наверное, от 0 до Pi/2.

В итоге получился интеграл от выражения
(((sin(\varphi))^3 + ((cos(\varphi))^3)^2

Если решать заменой, приведенной к несколько похожему примеру: z=tg(\varphi), то получается совсем плохо:интеграл от (cos(\varphi))^8 * (1 + z^3)^2

И как его взять? Подскажите, кто знает.[list=][/list]

[незваный гость]

Вы неправильно произвели замену. $\cos \phi$, а не $\cos z$. Что гораздо удобнее.

Другой (и, может быть, более простой) путь взятия этого интеграла — переход к тригонометрическим функциям кратных углов. Немного громоздкие вычисления, но в целом проходимые.

[Brukvalub]

Vova Iugniy писал(а):

Интегрировать, наверное, от 0 до Pi/2.

Интегрировать нужно в пределах, определяемых неравенством

\[ \sin \varphi + \cos \varphi \ge 0\]

Vova Iugniy писал(а):

Если решать заменой, приведенной к несколько похожему примеру: z=tg(\varphi), то получается совсем плохо:интеграл от (cos(z))^8 * (1 + z^3)^2

Неверное вычисление. Откуда мог взяться

\[\cos z\]

[Vova Iugniy]

Там конечно опечатка была не Z , а Fi, и тем не менее как его брать , а пределы интегрирования тогда получается
[-Pi/4; 3Pi/4] ?

[Brukvalub]

Воспользоваться формулой

\[1 + tg^2 t = \frac{1}{{\cos ^2 t}}\]

и свести задачу к интегрированию рац. функции.
Другая возможность - свести вычисление к вычислению В-функции.

[Someone]

Brukvalub писал(а):

Воспользоваться формулой

\[1 + tg^2 t = \frac{1}{{\cos ^2 t}}\]

и свести задачу к интегрированию рац. функции.

Будут проблемы с разрывами первообразной. Лучше так, как советовал незваный гость: в тех членах, где сумма степеней синуса и косинуса чётная, переходим к двойному углу, а где сумма степеней нечётная - замена переменной.

[Brukvalub]

Someone писал(а):

Будут проблемы с разрывами первообразной.

Нерешаемые проблемы?

[Someone]

Решаемые, но требующие от решающего понимания существа дела: где там у арктангенса возникают разрывы, и что с ними делать. Неопытный студент просто стандартным способом получит первообразную с разрывами и подставит в неё пределы интегрирования.
Но где-то у нас эта проблема обсуждалась.

[Brukvalub]

Someone писал(а):

где там у арктангенса возникают разрывы, и что с ними делать.

Ну и пусть склеит непрерывную первообразную! Но Вы, Someone, безусловно правы, если не понимать суть дела, то можно такое натворить..