2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линией...
Сообщение13.10.2007, 21:45 
Итак, надо найти площадь плоской фигуры, ограниченной линией
$(x^2 + y^2 )^2 = x^3 + y^3$

Что-то мне подсказывает, что надо перейти к полярным координатам...
После этого имеем: $\rho = \cos^3(\phi) + \sin^3(\phi)$

Теперь необходимо составить интеграл... Вот с этим то и проблема.

Помогите его написать.

 
 
 
 
Сообщение13.10.2007, 22:14 
Аватара пользователя
Vova Iugniy писал(а):
Помогите его написать.
Читаем здесь: http://dvoika.net/kurs1.html , разбираем примеры и все получится.

 
 
 
 
Сообщение13.10.2007, 22:34 
Спасибо, сейчас попробую.

 
 
 
 
Сообщение13.10.2007, 22:41 
Аватара пользователя
Vova Iugniy
Ro — \rho $\rho$
fi — \phi $\phi$ или \varphi $\varphi$

 
 
 
 
Сообщение13.10.2007, 23:19 
НГ, буду знать.
Хм, фигура напоминает 4х лепесточный цветок? Причем симметричный, т.е мона разбить площадь на 4 части и интеграл потом умножить на 4...

Интегрировать, наверное, от 0 до Pi/2.

В итоге получился интеграл от выражения
(((sin(\varphi))^3 + ((cos(\varphi))^3)^2

Если решать заменой, приведенной к несколько похожему примеру: z=tg(\varphi), то получается совсем плохо:интеграл от (cos(\varphi))^8 * (1 + z^3)^2

И как его взять? Подскажите, кто знает.[list=][/list]

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 05:41 
Аватара пользователя
:evil:
Вы неправильно произвели замену. $\cos \phi$, а не $\cos z$. Что гораздо удобнее.

Другой (и, может быть, более простой) путь взятия этого интеграла — переход к тригонометрическим функциям кратных углов. Немного громоздкие вычисления, но в целом проходимые.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 09:23 
Аватара пользователя
Vova Iugniy писал(а):
Интегрировать, наверное, от 0 до Pi/2.
Интегрировать нужно в пределах, определяемых неравенством \[
\sin \varphi  + \cos \varphi  \ge 0\]

Vova Iugniy писал(а):
Если решать заменой, приведенной к несколько похожему примеру: z=tg(\varphi), то получается совсем плохо:интеграл от (cos(z))^8 * (1 + z^3)^2
Неверное вычисление. Откуда мог взяться \[\cos z\] :shock:

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 13:25 
Там конечно опечатка была не Z , а Fi, и тем не менее как его брать , а пределы интегрирования тогда получается
[-Pi/4; 3Pi/4] ?

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 13:48 
Аватара пользователя
Воспользоваться формулой \[1 + tg^2 t = \frac{1}{{\cos ^2 t}}\]
и свести задачу к интегрированию рац. функции.
Другая возможность - свести вычисление к вычислению В-функции.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 16:00 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Воспользоваться формулой \[1 + tg^2 t = \frac{1}{{\cos ^2 t}}\]
и свести задачу к интегрированию рац. функции.


Будут проблемы с разрывами первообразной. Лучше так, как советовал незваный гость: в тех членах, где сумма степеней синуса и косинуса чётная, переходим к двойному углу, а где сумма степеней нечётная - замена переменной.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 16:03 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
Будут проблемы с разрывами первообразной.

Нерешаемые проблемы? :shock:

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 16:08 
Аватара пользователя
Решаемые, но требующие от решающего понимания существа дела: где там у арктангенса возникают разрывы, и что с ними делать. Неопытный студент просто стандартным способом получит первообразную с разрывами и подставит в неё пределы интегрирования.
Но где-то у нас эта проблема обсуждалась.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 16:17 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
где там у арктангенса возникают разрывы, и что с ними делать.
Ну и пусть склеит непрерывную первообразную! Но Вы, Someone, безусловно правы, если не понимать суть дела, то можно такое натворить..

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group