Нестационарное гиперболическое уравнение

[ChaosProcess]

Собственно, уравнение типа следующего:

$$\frac {\partial}{\partial t}u=\frac {\partial^2}{\partial x^2}u-\frac {\partial^2}{\partial y^2}u+cu,\quad c=const.$$

Начальное условие: u везде 0, кроме левого нижнего квадранта. Там некая функция $h(x,y)$. Хотелось бы получить аналитическое решение.
Я плохо знаком с литературой по УМФ, если кто-то знает, где такие уравнения разбирались, посоветуйте книги.

[Vince Diesel]

По $x$ получается параболическое уравнение, а по $y$ обратно параболическое. А обратно параболические дают некорректную задачу в обычных классах функций.

С помощью преобразования Фурье можно получить формулу для решения задачи Коши, аналогичную случаю, когда оба плюса. Фундаментальное решение будет равно произведению ф.р. для уравнения теплопроводности по $x$, умноженное на ф.р. для обратного уравнения теплопроводности по $y$. Но вот со сходимостью по $y$ там будут проблемы.

[ChaosProcess]

Vince Diesel в сообщении #819518 писал(а):

По $x$ получается параболическое уравнение, а по $y$ обратно параболическое. А обратно параболические дают некорректную задачу в обычных классах функций.

С помощью преобразования Фурье можно получить формулу для решения задачи Коши, аналогичную случаю, когда оба плюса. Фундаментальное решение будет равно произведению ф.р. для уравнения теплопроводности по $x$, умноженное на ф.р. для обратного уравнения теплопроводности по $y$. Но вот со сходимостью по $y$ там будут проблемы.

Спасибо за ответ.
Только вот мне непонятно, как однородное уравнение можно решить преобразованием Фурье. Там же получиться алгебраическое уравнение, решением которого будет либо зануление фурье-образа, либо уравнение на "частоты" - переменные в фурье-пространстве.
И еще, как вы сделали вывод о плохой сходимости по y? Если у вас есть на примете книжки, где про это можно почитать, буду признателен.

[пианист]

Наверное, в любом случае разумным будет избавиться от $c$:
$u=ve^{ct}$.
Может быть, стоит еще "повернуться" в плоскости $(x,y)$, чтобы получилось
$v_t=v_{\tilde{x}\tilde{y}}$.

(Оффтоп)

Уравнение какое-то действительно экзотическое, никогда про такие не слышал.

[ChaosProcess]

пианист в сообщении #819591 писал(а):

Наверное, в любом случае разумным будет избавиться от $c$:
$u=ve^{ct}$.
Может быть, стоит еще "повернуться" в плоскости $(x,y)$, чтобы получилось
$v_t=v_{\tilde{x}\tilde{y}}$.

Да константа не проблема. А поворот дал бы решение, если бы не было времени. Это было бы просто волновое уравнение относительно x и y.

[Vince Diesel]

Преобразование Фурье берется по пространственным переменным и получается ОДУ. Все это есть в книжках по урчп в разделах по уравнению теплопроводности. Олейник, например.
Ф.р. имеет вид:

$$ \Gamma(x,y,t)=\frac1{4\pi t}e^{\frac{y^2-x^2}{4t}+ct} $$

при $t>0$ и ноль при $t<0$. Обсуждение обратного уравнения теплопроводности было здесь. Однако при двух переменных, наверное, могут возникнуть какие-то новые эффекты. Судя по тому, что в этом случае стационарными решениями будут решения волнового уравнения. А они могут быть не особо гладкими.

[ChaosProcess]

Vince Diesel в сообщении #819630 писал(а):

Преобразование Фурье берется по пространственным переменным и получается ОДУ. Все это есть в книжках по урчп в разделах по уравнению теплопроводности. Олейник, например.
Ф.р. имеет вид:

$$ \Gamma(x,y,t)=\frac1{4\pi t}e^{\frac{y^2-x^2}{4t}+ct} $$

при $t>0$ и ноль при $t<0$. Обсуждение обратного уравнения теплопроводности было здесь. Однако при двух переменных, наверное, могут возникнуть какие-то новые эффекты. Судя по тому, что в этом случае стационарными решениями будут решения волнового уравнения. А они могут быть не особо гладкими.

Да, у меня то же самое получилось. В общем, проблема при $t=0.$ И что теперь делать? Получается, нельзя решить задачу?

[Munin]

Vince Diesel
А если я представлю себе это уравнение в виде, где "время" - $x$:

$$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}u=\dfrac{\partial}{\partial t}u+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}u,$$

то что можно будет сказать о решениях? (Забавна симметрия, что взяв $u'(t)=u(-t),$ я могу взять за "время" $y.$)

И вообще, существует ли какая-нибудь связь между уравнениями

$$\dfrac{\partial}{\partial t}u=D_{\{x,y,\ldots\}\not\ni t}\,u$$

и

$$\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}u=D_{\{x,y,\ldots\}\not\ni t}\,u$$

(где $D_{\{x,y,\ldots\}}$ - линейный дифференциальный оператор по переменным $\{x,y,\ldots\}$), между их решениями? Впрочем, наверное, я слишком многого хочу... Это бы означало и связь между

$$\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}u=D_{\{x,y,\ldots\}\not\ni t}\,u$$

и

$$\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}u=-D_{\{x,y,\ldots\}\not\ni t}\,u.$$

[Vince Diesel]

Формально эта штука удовлетворяет уравнению. Но интеграл от по плоскости даже с финитной и гладкой функцией может неограниченно расти при $t\to+0$. Так что в таком виде решения мб и не пишется. Это же получается характеристическая задача Коши. Для уравнения теплопроводности все оказывается хорошо. Но тут еще добавляются характеристические плоскости от волнового уравнения. Неплохо бы разобраться в какой постановке она корректна.

И вообще, я подумал, что еще доказывать надо, что это будет фундаментальное решение. Больно плохо себя ведет. Или в такой постановке задачи Коши что-то не так.

-- Вт янв 28, 2014 16:05:25 --

Цитата:

А если я представлю себе это уравнение в виде, где "время" - $x$:

$$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}u=\dfrac{\partial}{\partial t}u+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}u,$$

то что можно будет сказать о решениях? (Забавна симметрия, что взяв $u'(t)=u(-t),$ я могу взять за "время" $y.$)

От перестановки слагаемых ничего не изменится

Цитата:

И вообще, существует ли какая-нибудь связь между уравнениями

$$\dfrac{\partial}{\partial t}u=D_{\{x,y,\ldots\}\not\ni t}\,u$$

и

$$\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}u=D_{\{x,y,\ldots\}\not\ni t}\,u$$

(где $D_{\{x,y,\ldots\}}$ - линейный дифференциальный оператор по переменным $\{x,y,\ldots\}$), между их решениями?

В общем виде не знаю. Есть формула, связывающяя ф.р. для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Но я ее не помню. И не факт, что эта связь в таком нестандартном случае поможет.

[ChaosProcess]

Vince Diesel в сообщении #819961 писал(а):

Формально эта штука удовлетворяет уравнению. Но интеграл от по плоскости даже с финитной и гладкой функцией может неограниченно расти при $t\to+0$.

Это вы имеете ввиду, что даже на роль обобщенной функции не годится такое решение?
Кстати, в стационарном случае все довольно безобидно.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #819961 писал(а):

От перестановки слагаемых ничего не изменится :-)

Ну, изменится задача Коши. Начальные условия заданы не на плоскости $(x,y),$ а на плоскости $(t,y).$ Это же может отсечь какие-нибудь "неудобные" функции, или "успокоить" эволюцию (в направлении, нормальном начальной плоскости)?

Vince Diesel в сообщении #819961 писал(а):

Есть формула, связывающяя ф.р. для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Но я ее не помню.

Спасибо, интересно! Эх, как бы нагуглить...

[Oleg Zubelevich]

судя по выражениям вроде

ChaosProcess в сообщении #819476 писал(а):

u везде 0, кроме левого нижнего квадранта. Там некая функция $h(x,y)$

(какой квадрант, как аффтар нумеровал оси -- неизвестно. И вообще что это за краевые условия в целом квадранте?)

ChaosProcess в сообщении #819476 писал(а):

уравнение типа следующего

(словечко "типа" звучит обнадеживающе: легко могу предположить, что для ТС вообще нет разницы, плюс или минус стоит перед $u_{yy}$)

и по другим перлам ТС,
еще не факт, что в теме есть вообще хоть что-то заслуживающее обсуждения.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #819995 писал(а):

(какой квадрант, как аффтар нумеровал оси -- неизвестно. И вообще что это за краевые условия в целом квадранте?)

По-моему, очевидно, что плоскость $(x,y)$ расположена "как в школе", и "левый нижний" - это $x<0\wedge y<0$ (плюс, возможно, граница). А условия не краевые, а начальные.

Oleg Zubelevich в сообщении #819995 писал(а):

легко могу предположить, что для ТС вообще нет разницы, плюс или минус стоит перед $u_{yy}$... и по другим перлам ТС,

Если есть ссылки, дайте.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #819995 писал(а):

судя по выражениям вроде

ChaosProcess в сообщении #819476 писал(а):

u везде 0, кроме левого нижнего квадранта. Там некая функция $h(x,y)$

(какой квадрант, как аффтар нумеровал оси -- неизвестно. И вообще что это за краевые условия в целом квадранте?)

ChaosProcess в сообщении #819476 писал(а):

уравнение типа следующего

(словечко "типа" звучит обнадеживающе: легко могу предположить, что для ТС вообще нет разницы, плюс или минус стоит перед $u_{yy}$)

и по другим перлам ТС,
еще не факт, что в теме есть вообще хоть что-то заслуживающее обсуждения.

Ну и не обсуждайте, вас сюда никто не звал.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #820065 писал(а):

Спасибо за разъяснения.
Берем преобразование Фурье по $x,y$. Получаем $U_t=-\xi_1^2U+\xi_2^2 U+cU$ откуда
$U=H(\xi_1,\xi_2)e^{(\xi_2^2-\xi_1^2+c)t}$
Пусть теперь $W=\{w(\xi_1,\xi_2)\mid w e^{\xi_2^2 t}\in L^2(\mathbb{R}^2),\quad \forall t>0\}$
Из написанного ясно, что задача корректно решается при $h\in \mathcal F^{-1}(W)$, где $\mathcal F$ -- преобразование Фурье

Это все замечательно, но надо еще вернутся в исходное пространство $(x,y)$, а там возникает множитель $\frac {1}{t}$, из-за которого бесконечность не только при $t \to\infty$, но и при $t\to 0$. Ваши рассуждения показывают, как избавиться только от $t \to\infty$, что и так было понятно.