В целых числах

[Andrey A]

Добрый вечер! Известно, что уравнение $x^4-y^4=z^2$ неразрешимо в целых числах кроме $z=0$. Верно ли такое утверждение в отношении уравнения $(x_1^4-y_1^4)(x_2^4-y_2^4)=z^2$ ? Можно еще его переписать так: $\frac{x_1^4-y_1^4}{d_1^2}=\frac{x_2^4-y_2^4}{d_2^2}$.

[maxal]

Положите $x_1=x_2$ и $y_1=y_2$.

[Andrey A]

maxal в сообщении #818866 писал(а):

Положите $x_1=x_2$ и $y_1=y_2$.

Да, забыл исключить. А нетривиальные решения возможны? В литературе ничего не нашел об этом.

[maxal]

См. A147854 и A147856:

Цитата:

Euler proved that if n^2 = (x^4 - y^4)*(z^4 - t^4) then a,b,c (if n is even) or 4a,4b,4c (if n is odd) form a triple of integers with all pairwise sums and differences being squares, where a=(x^4+y^4)*(z^4+t^4)/2, b=(n^2+(2xyzt)^2)/2 and c=(n^2-(2xyzt)^2)/2. Note that a,b,c are pairwise distinct if and only if (x,y) and (z,t) are not proportional.

[Andrey A]

Спасибо большое! Если бы еще ссылку на русском...

[tatkuz1990]

Andrey A
Таких пятерок чисел бесконечно много. Например:

$(3^4-2^4)(9^4-7^4)=520^2$

[Коровьев]

Вывод одного параметрического решения есть здесь на dxdy
Из него можно получить
$\left( {7^4 - 1} \right)\left( {1249^4 - 1151^4 } \right) = 40353600^2 $
с взаимно простыми парами.

[Andrey A]

tatkuz1990 в сообщении #818899 писал(а):

Andrey A
Таких пятерок чисел бесконечно много.$[/math]

Они у Вас пропорциональные. Под "нетривиальные" понимается "непропорциональные". Моя неточно формулировать.
Ага, сначала были.

-- 25.01.2014, 02:01 --

Коровьев в сообщении #818901 писал(а):

Вывод одного параметрического решения есть здесь на dxdy
Из него можно получить
$\left( {7^4 - 1} \right)\left( {1249^4 - 1151^4 } \right) = 40353600^2 $
с взаимно простыми парами.

Спасибо!

[tatkuz1990]

Если погуглить, можно найти еще решение:

$(47^4-23^4)(41^4-1^4)=3605280^2$