Электростатика

[exitone]

Школьная задача.

Заряд $Q$ находится на расстоянии $r$ от центра заземленной сферы. Используя свойство суперпозиции, покажите, что сфера приобретает заряд $q_1 = -q$, где $q = Qa/r.$

$a$ - это видимо радиус сферы

Решение. Потенциал Земли примем равным нулю. Величина заряда $q_1$ и распределение этого заряда по поверхности сферы должны удовлетворять условию: сумма потенциалов $\varphi_1$ и $\varphi_2$, создаваемых зарядами $q_1$ и $Q$, должна быть равна нулю в любой точке внутри сферы и на ее поверхности. Проще всего вычислить потенциал сферы: $0 = kQ/r + \varphi_1$. Заряд $q_1$ распределен неравномерно, но если поверхность сферы представить в виде множества элементарных площадок с зарядами $\Delta q_a, то \varphi_1 = k(\Delta q_1 + \Delta q_2 + ...)/a = kq_1/a$. Следовательно, $Q/r + q_1/a = 0, q_1 = -Qa/r$

Не является ли сие рассуждение жульничеством? Автор, по сути, делает так $q_1 = \Delta q_1 + \Delta q_2 + ... = q_1$.
Ведь если заряд распределен неравномерно, то правильно тогда написать $ \varphi_1 = k(\Delta q_1/a_1 + \Delta q_2/a_2 + ...)$,
и уже не получится, такого красивого и элегантного решения.

[spherical cow]

Данное решение будет правильным, если рассматривать потенциал в центре шара (тогда все эти площадки с зарядами на поверхности будут действительно находиться на одном расстоянии от центра).

[ewert]

exitone в сообщении #818486 писал(а):

Не является ли сие рассуждение жульничеством?

Жульничества тут нет, а есть неправильное сочетание фраз:

Цитата:

, должна быть равна нулю в любой точке внутри сферы и на ее поверхности. Проще всего вычислить потенциал сферы: $0 = kQ/r + \varphi_1$.

Вместо слов "потенциал сферы" (т.е., по контексту, на самой сфере) должно было стоять "потенциал в центре сферы". Скорее всего, упоминание центра просто нечаянно потерялось.

[DimaM]

ewert в сообщении #818542 писал(а):

Вместо слов "потенциал сферы" (т.е., по контексту, на самой сфере) должно было стоять "потенциал в центре сферы". Скорее всего, упоминание центра просто нечаянно потерялось.

Тут важно, что внутри сферы потенциал постоянный, и такой же будет на самой сферы (поскольку внутри зарядов нет).

[exitone]

Ясно. Мол где угодно нуль, поэтому посчитаем в центре.
Спасибо, я почему-то не увидел этого сразу.

[Munin]

Кстати, в условиях не сказано, что заряд находится вне сферы.

[exitone]

там картинка к задаче, которую ТС не удосужился выложить. :/

[Ismatulla]

А как решить, если заряд находится внутри сферы? Сфера будет заряжаться, пока ее потенциал не станет равным нулю (потенциалу земли). Дальше что?

[DimaM]

Ismatulla в сообщении #818965 писал(а):

Сфера будет заряжаться, пока ее потенциал не станет равным нулю (потенциалу земли). Дальше что?

Дальше все ;).
Можно заметить, что суммарный заряд (исходный плюс заряд сферы) станет нулевым, потому что поля снаружи не будет.

[exitone]

Получается, что в таком случае заряд, более того, распределится по сфере равномерно.

[nikvic]

exitone в сообщении #819060 писал(а):

Получается, что в таком случае заряд, более того, распределится по сфере равномерно.

Не получается.

[exitone]

Какое тогда должны быть распределение заряда на сфере, чтобы снаружи было нулевое поле?
Я подумал вот о чем
$ 0 = \frac{kq}{r^3}\vec{r} +\frac{k(-q)}{r^3}\vec{r} $
второе слагаемое - поле сферы снаружи при равномерном распределении заряда

-- 25.01.2014, 18:08 --

Я поторопился
Действительно, так будет только если мы поместим заряд в центр.

[nikvic]

exitone в сообщении #819068 писал(а):

Я поторопился

Внешний заряд можно правильно "отразить" в сфере.
Два разноимённых заряда всегда дают поле, имеющее сферическую (либо плоскую) эквипотенциальную поверхность.

[Munin]

nikvic
Упражнение: взять несферическую, но гладкую выпуклую (строго выпуклую) поверхность, отразить в ней заряд. Убедиться, что отражение - точечное. Подумать над утверждением, что два разноимённых заряда имеют только сферические либо плоские эквипотенциали :-)

[nikvic]

Munin в сообщении #819099 писал(а):

Упражнение: взять несферическую, но гладкую выпуклую (строго выпуклую) поверхность, отразить в ней заряд. Убедиться, что отражение - точечное.

Отразите-ка в цилиндре