Примеры факторпространства и ядра (геометрические)

[provincialka]

Прямая - другое дело. Для отрезка нарушено правило умножения на скаляр: он же конечен. И вообще, отрезок состоит из точек, а не из векторов. Как вы будете точки отрезка складывать? Умножать на 2?

Когда мы говорим о геометрической интерпретации, нужно различать аффинное и векторное пространство, т.е. точки и векторы. Если откладывать векторы от одной точки, то и подпространства (прямые, плоскости) тоже будут проходить через эту точку. Другие плоскости не годятся.

[ewert]

spacer в сообщении #818566 писал(а):

А где у куба - то ядро, никак не пойму?

Нигде (ну разве что его распилить -- может, внутри какое ядрышко и сыщется). При чём тут куб?

[spacer]

ewert в сообщении #818580 писал(а):

spacer в сообщении #818566 писал(а):

А где у куба - то ядро, никак не пойму?

Нигде (ну разве что его распилить -- может, внутри какое ядрышко и сыщется). При чём тут куб?

Вот причем (пример у Колмогорова):

Цитата:

Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$. Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. В трехмерном Евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр представляют собой выпуклые тела.

[provincialka]

Что-то вроде внутренности множества. Правда, почему-то $e$ зависит от $y$. Какое-то более слабое определение. Но для куба это точно, внутренность.

[spacer]

А что насчет фактор-пространства? Может кто-нибудь привести пример и указать, где там пространство, где подпространство и где фактор-пространство?

[provincialka]

Мочь-то мы можем, но полные решения не разрешены.
Ну ладно. Если функционал - координатная функция $f((x,y,z))=x$, то ядро - те вектора, которые переходят в 0. То есть вектора координатной плоскости $Oyz$. К такой плоскости мы можем прибавить произвольный вектор, получим плоскость, параллельную ядру. Все такие параллельные плоскости и образуют фактор-пространство.

[spacer]

provincialka в сообщении #818616 писал(а):

К такой плоскости мы можем прибавить произвольный вектор, получим плоскость, параллельную ядру.

Что значит прибавить произвольный вектор к плоскости - к каждому вектору плоскости прибавить этот вектор? (тогда не плоскость получится вроде бы).

-- 24.01.2014, 13:42 --

provincialka в сообщении #818616 писал(а):

Мочь-то мы можем, но полные решения не разрешены.

Да мне не задачу надо решить, а понять определения. Я читал главу про фактор-пространства в десятке книг. Нормальных понятных примеров не нашел.

-- 24.01.2014, 13:51 --

Классы рациональных чисел, разность которых равна целому числу, образуют фактор-пространство? Я верно понимаю? Классами будут (..., 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, ...), (..., 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, ...)?
Получается фактор-пространство - пространство таких классов.

[provincialka]

Верно понимаете.
И насчет прибавления вектора верно понимаете. А почему не плоскость? Не подпространство - это точно. Потому что не обязано проходить через 0. Ведь вектор (прибавление вектора) - это сдвиг, параллельный перенос.

-- 24.01.2014, 15:06 --

spacer в сообщении #818625 писал(а):

Получается фактор-пространство - пространство таких классов.

Да. Часто можно отождествить его с другим, более простым пространством. Например, выбрать в каждом классе представителя. Для вашего примера это может быть полуинтервал $[0;1)$, тогда класс каждого элемента определяется его дробной частью. А все действия будут производиться по модулю 1.
В моем примере фактор-множеством можно считать ось $Ox$. Или любую другую прямую, не лежащую в ядре.

[mihailm]

spacer в сообщении #818593 писал(а):

...

Цитата:

Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$...

Это не то ядро (не той системы)

[spacer]

provincialka в сообщении #818630 писал(а):

Верно понимаете.
И насчет прибавления вектора верно понимаете. А почему не плоскость?

Если понимать под операцией "сложение" сдвиг, то будет плоскость, а если обычное сложение векторов, то переместится только конец вектора, а не сам вектор.

-- 24.01.2014, 14:52 --

mihailm в сообщении #818652 писал(а):

spacer в сообщении #818593 писал(а):

...

Цитата:

Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$...

Это не то ядро (не той системы)

Ошибка в книге?

[svv]

Нет.
Вот Вам ещё одно ядро.
В математике в силу её абстрактности дефицит сочных ёмких образных терминов.

-- Пт янв 24, 2014 14:12:25 --

Пример provincialka с проекцией, очень наглядный, хоть там и не функционал.

Оператор переводит вектор в его ортогональную проекцию на плоскость. Представьте горизонтальную плоскость. Сверху светит солнышко, оно в зените. Начало вектора — в начале координат, а конец, например, торчит куда-то наклонно вверх. Проекция вектора на плоскость — его тень.
Оператор переводит вектор в его тень.
Если вектор направлен куда-то вниз... ну, считайте, что для таких векторов солнышко светит снизу.

Ядро: множество всех векторов, у которых тень равна нулю. Что это?
Множество вертикальных векторов.

Назовем два вектора эквивалентными, если у них совпадает тень.
Тогда класс эквивалентности — множество векторов с совпадающей тенью. Что это?
Множество векторов, концы которых точно друг над (под) другом. Назовем это вертикальный столбик.

Тогда фактор-пространство — множество всех таких множеств векторов с совпадающей тенью. Что это?
Множество вертикальных столбиков.

Это фактор-пространство по ядру оператора. А можно было построить фактор-пространство по образу оператора, это было бы множество горизонтальных плоскостей.

[spacer]

Спасибо всем за ответы. Буду разбираться дальше, пробовать находить примеры до полного прояснения. Жесткая абстракция. Остался вопрос. В каким учебниках этот вопрос разъяснен более доходчиво, детально, сами вы по каким книгам доходили или донимали преподов? И названия задачников подскажите. Я уже довольно много чего закачал, но может чего из нового не видел.

[provincialka]

svv в сообщении #818661 писал(а):

Пример provincialka с проекцией, очень наглядный, хоть там и не функционал

Вроде я исправилась и во второй раз был именно функционал, первая координата. Это же число.

[svv]

А мне именно этот понравился. Я бы его сам привёл.

[spacer]

Прошел год, много чего читал. Вопрос - правильно ли я понимаю термин фактор-множество.
1) Имеется плоскость. Выберем на плоскости прямую. Все прямые, параллельные данной прямой, образуют класс в смысле множества прямых, удовлетворяющих отношению "каждая прямая класса параллельна любой другой прямой этого же класса". Фактор-множество - множество таких классов параллельных прямых, ведь мы можем взять другую прямую и она будет представителем другого класса параллельных прямых.
2) Отношение - подобие треугольников на плоскости. Каждому произвольному треугольнику соответствует класс (бесконечное множество) треугольников, подобных ему. Если взять и повернуть треугольник, скажем, на 10 градусов вокруг одной из вершин, то получим другой класс подобных ему треугольников. Причем треугольники, входящие в первый класс никак не могут одновременно входить и во второй класс. Фактор-множество по подобию треугольников - множество всех таких непересекающихся классов подобных треугольников.
Правильно ли я привел понятие фактор-множества в этих примерах?