2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 14:58 
Тело такое:
$x^2 +y^2+z^2= R^2$
$z=a; z=b; (b>a>0)$
Необходимо различными методами просто расставить пределы. Пытался в сферической и цилиндрической.
Сферическая:
$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$
$$ \arccos(a/R) \le \theta \le \arccos(b/R) $$
$$ 0 \le \rho \le R $$
В цилиндрической не могу понять, как изменяется $ \rho $, попробовал разбить на 2 интеграла, в 1:
$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$
$$ \sqrt{R^2-b^2} \le  \rho \le \sqrt{R^2-a^2} $$
$$ a \le z \le b $$
Во 2 интеграле:
$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$
$$ 0 \le  \rho \le \sqrt{R^2-b^2} $$
$$ a \le z \le b $$

Ну и совсем ничего не сходится, естественно :-(

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 16:53 
Аватара пользователя
Как раз в цилиндрической системе координат можно, правильно выбрав «внешнюю» переменную, получить внутренний интеграл, где верхний предел будет задаваться единой формулой (и нижний тоже).

А в сферической — нельзя.

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 19:13 
Можно поподробнее? Почему нельзя в сферической и как определять изменения переменных в цилиндрической?

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 19:42 
Аватара пользователя
Начнем с цилиндрической.
Попробуйте догадаться по картинке.
Изображение
Слева удачный выбор внешней переменной интегрирования:
на всей области изменения внешней переменной — один и тот же закон для пределов внутренней переменной.

Справа неудачный выбор.

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 19:54 
Выбираем $z$ внешней переменной, изменяться она будет от a до b, в таком случае $\rho$ от $-\sqrt{R^2-z^2}$ до $\sqrt{R^2-z^2}$?

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:00 
Аватара пользователя
Молодец, почти правильно.
Только $\rho$ меняется от $0$. Ведь оно всегда неотрицательно.
Посмотрите на картинки: я не случайно на каждом из рисунков показывал интегрирование только справа от оси $z$.
Чтобы попасть в левую часть каждого рисунка и проинтегрировать там, надо не отрицательное $\rho$ брать, а изменить $\varphi$ на $\pi$ (т.е. на полоборота).

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:02 
Вот кстати, есть момент, который не очень понимаю. Надо ли при этом умножать полученное значение на 2?

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:04 
Аватара пользователя
Нет. То, чего Вы хотите этим добиться, сделает интеграл по $\varphi$.

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:14 
Давайте подытожим, интеграл для нахождения объёма должен выглядеть так??
$$\int_{0}^{\pi } d\varphi\int_{a}^{b} dz\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2} } d\rho$$
Что тогда делать со сферическими координатми?

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:29 
Аватара пользователя
1) $\varphi$ меняется от $0$ до $2\pi$ (иначе полуплоскость $\varphi=\operatorname{const}$ не опишет полный оборот вокруг вертикальной оси).
2) Пропущен якобиан.
3) Всё в предположении $0<a<b<R$.
Со сферическими позже.

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:34 
Ой, да, прошу прощения, якобиан пропустил. Спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:40 
Аватара пользователя
M<ath
Значит, Вы поняли? $\rho$ меняется от нуля, и потому, меняя $\rho$ и $z$, вы остаетесь в полуплоскости (как страница, прикрепленная к корешку книги — оси $z$). На «другую сторону» Вы попадаете не за счет ухода $\rho$ в отрицательную область (нельзя!), а за счет того, что $\varphi$ меняется от $0$ до $2\pi$, и страничка делает вокруг корешка полный оборот.

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 20:46 
Да! Наконец, понял, почему так. Спасибо ещё раз.

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение22.01.2014, 23:47 
Аватара пользователя
Сферическая система. В любом случае внутренний интеграл придется разбить на два, с разными формулами для пределов.
Изображение

Как бы я сам находил объем, если уж надо использовать сферические координаты.
Как разность объемов фигур, которые в сечении изображены желтым и зеленым цветом (т.е. объем желтой шапочки минус объем зеленой шапочки).
Изображение
Выгоды:
$\bullet$ Интегралы становятся однотипными.
$\bullet$ Каждый интеграл уже не надо разбивать на два, в каждом формула для пределов единая.
$\bullet$ Результат интегрирования легко проверяется (объемы таких фигур есть в справочниках).

 
 
 
 Re: Объём тела.
Сообщение23.01.2014, 02:12 
жёлтая область:
$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$
$$ 0 \le \theta \le \arccos(a/R) $$
$$ 0 \le \rho \le R $$
зелёная:
$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$
$$ 0 \le \theta \le \arccos(b/R) $$
$$ 0 \le \rho \le R $$
Правильно? :?

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group