Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера

[roma1990]

Добрый день!

Возникла задача найти собственные значения одномерного оператора типа Шрёдингера ($\hat{H} = -\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)$), где потенциал - некоторая быстро убывающая функция

Подскажите, пожалуйста, численные методы которыми это можно посчитать (т.е. решить задачу $\hat{H}\psi = E \psi$.)
Собственные функции необходимости находить нет.

[Ms-dos4]

Есть методы численного нахождения собственных значений. Либо напрямую решать уравнение (что удастся далеко не всегда - а точнее почти никогда, только для некоторых потенциалов).
P.S.Видел на "экспоненте" статью как раз по вашему случаю (для Matlab)

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #816589 писал(а):

P.S.Видел на "экспоненте" статью как раз по вашему случаю (для Matlab)

Как раз нет: у них -- на ограниченном промежутке, а не на всей оси. Кроме того, они там врут: Нумеров -- он тоже 4-го порядка (как и стандартный Рунге-Кутта), а никакого не 6-го.

В случае всей оси можно, конечно, принудительно обрезать её до отрезка и искать с.ч. этой приближённой задачи. Но только уж не пристрелкой, разумеется. Надо просто написать функцию, вычисляющую значение характеристического многочлена для разностного оператора краевой задачи при каждом значении энергии, и потом тупо искать её корни хоть даже и половинным делением (благо матрица там трёхдиагональна, раз уж Нумеров). Но тогда придётся оценивать влияние отброшенных хвостов. А в общем -- не знаю, как считать с.ч. в такой ситуации грамотно.

[roma1990]

Да, забыл сказать - задача рассматривается на полуоси. Но понятно что для численного счета надо будет ограничиться отрезком. Вообще цель - показать что спектр не пуст и указать несколько значений.

[svv]

Вы не могли бы чуть подробнее рассказать, какой потенциал?

[roma1990]

svv в сообщении #816619 писал(а):

Вы не могли бы чуть подробнее рассказать, какой потенциал?

Потенциал $V(x) = k^2 -\frac{1}{y} \frac{f'''(x/\sqrt{y})}{f'(x/\sqrt{y})},$ где $f=f(x)$ - функция Блазиуса, $k\in\mathbb{N}$, $y$-заранее заданный параметр

[ИСН]

О, этот неловкий момент, когда понимаешь, что лучше было не спрашивать.

[svv]

Э... Вы имеете в виду, что такое не решается аналитически?
Бог с Вами, ТС в первом сообщении написал, что его интересуют численные методы. Стало быть, вероятность получить аналитическое решение стремится к нулю.
Меня насторожили слова «потенциал - некоторая быстро убывающая функция»: будет ли потенциал с таким свойством потенциальной ямой? Вопрос не возник бы, если бы потенциал быстро возрастал.

[ewert]

svv в сообщении #816701 писал(а):

Меня насторожили слова «потенциал быстро убывает»: можно ли будет эту конструкцию хоть в каком-то смысле считать потенциальной ямой?

Можно, естественно. И даже необходимо (это для приложений попросту общее место). Но там вычислительная проблема. Есть достаточно хорошо отточенные методы для конечного промежутка. А вот для бесконечного, при условии естественного убывания потенциала на бесконечности -- как грамотно искать спектр не знаю (за что уже и извинялся). Как можно безграмотно (но достаточно эффективно, пусть и очень грубо) -- тоже уже сказал.

[roma1990]

Аналитически - маловероятно, функция Блазиуса - вещь нехорошая на мой взгляд.

Потенциал на бесконечности равен константе $k^2.$

В начале - да, подобие ямы получается.

[svv]

Это $k^2$ можно перенести в правую часть и присоединить к энергии.
Посмотрел, что такое функция Блазиуса. В общем, такой потенциал (без $k^2$) быстро убывает на бесконечности только по модулю. Так-то он монотонно растет. В нуле у нас бесконечно глубокая яма (из-за $f'(0)=0$). Всё в порядке.

[ewert]

svv в сообщении #816720 писал(а):

В общем, такой потенциал (без $k^2$) быстро убывает на бесконечности только по модулю. Так-то он монотонно растет.

Под "убывающими потенциалами" принято понимать именно отрицательные (т.е. притягивающие) и именно стремящиеся к нулю на бесконечности. Такова традиция, ибо именно таковые в первую очередь и интересны.