2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 15:39 


13/05/11
49
Добрый день!

Возникла задача найти собственные значения одномерного оператора типа Шрёдингера ($\hat{H} = -\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)$), где потенциал - некоторая быстро убывающая функция

Подскажите, пожалуйста, численные методы которыми это можно посчитать (т.е. решить задачу $\hat{H}\psi = E \psi$.)
Собственные функции необходимости находить нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 15:56 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Есть методы численного нахождения собственных значений. Либо напрямую решать уравнение (что удастся далеко не всегда - а точнее почти никогда, только для некоторых потенциалов).
P.S.Видел на "экспоненте" статью как раз по вашему случаю (для Matlab)

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 16:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ms-dos4 в сообщении #816589 писал(а):
P.S.Видел на "экспоненте" статью как раз по вашему случаю (для Matlab)

Как раз нет: у них -- на ограниченном промежутке, а не на всей оси. Кроме того, они там врут: Нумеров -- он тоже 4-го порядка (как и стандартный Рунге-Кутта), а никакого не 6-го.

В случае всей оси можно, конечно, принудительно обрезать её до отрезка и искать с.ч. этой приближённой задачи. Но только уж не пристрелкой, разумеется. Надо просто написать функцию, вычисляющую значение характеристического многочлена для разностного оператора краевой задачи при каждом значении энергии, и потом тупо искать её корни хоть даже и половинным делением (благо матрица там трёхдиагональна, раз уж Нумеров). Но тогда придётся оценивать влияние отброшенных хвостов. А в общем -- не знаю, как считать с.ч. в такой ситуации грамотно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 16:48 


13/05/11
49
Да, забыл сказать - задача рассматривается на полуоси. Но понятно что для численного счета надо будет ограничиться отрезком. Вообще цель - показать что спектр не пуст и указать несколько значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 17:07 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вы не могли бы чуть подробнее рассказать, какой потенциал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 17:21 


13/05/11
49
svv в сообщении #816619 писал(а):
Вы не могли бы чуть подробнее рассказать, какой потенциал?

Потенциал $V(x) = k^2 -\frac{1}{y} \frac{f'''(x/\sqrt{y})}{f'(x/\sqrt{y})},$ где $f=f(x)$ - функция Блазиуса, $k\in\mathbb{N}$, $y$-заранее заданный параметр

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
О, этот неловкий момент, когда понимаешь, что лучше было не спрашивать. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 19:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Э... Вы имеете в виду, что такое не решается аналитически?
Бог с Вами, ТС в первом сообщении написал, что его интересуют численные методы. Стало быть, вероятность получить аналитическое решение стремится к нулю.
Меня насторожили слова «потенциал - некоторая быстро убывающая функция»: будет ли потенциал с таким свойством потенциальной ямой? Вопрос не возник бы, если бы потенциал быстро возрастал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 19:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #816701 писал(а):
Меня насторожили слова «потенциал быстро убывает»: можно ли будет эту конструкцию хоть в каком-то смысле считать потенциальной ямой?

Можно, естественно. И даже необходимо (это для приложений попросту общее место). Но там вычислительная проблема. Есть достаточно хорошо отточенные методы для конечного промежутка. А вот для бесконечного, при условии естественного убывания потенциала на бесконечности -- как грамотно искать спектр не знаю (за что уже и извинялся). Как можно безграмотно (но достаточно эффективно, пусть и очень грубо) -- тоже уже сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 20:05 


13/05/11
49
Аналитически - маловероятно, функция Блазиуса - вещь нехорошая на мой взгляд.

Потенциал на бесконечности равен константе $k^2.$

В начале - да, подобие ямы получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 20:16 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Это $k^2$ можно перенести в правую часть и присоединить к энергии.
Посмотрел, что такое функция Блазиуса. В общем, такой потенциал (без $k^2$) быстро убывает на бесконечности только по модулю. Так-то он монотонно растет. В нуле у нас бесконечно глубокая яма (из-за $f'(0)=0$). Всё в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное нахождение спектра оператора типа Шрёдингера
Сообщение19.01.2014, 20:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #816720 писал(а):
В общем, такой потенциал (без $k^2$) быстро убывает на бесконечности только по модулю. Так-то он монотонно растет.

Под "убывающими потенциалами" принято понимать именно отрицательные (т.е. притягивающие) и именно стремящиеся к нулю на бесконечности. Такова традиция, ибо именно таковые в первую очередь и интересны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group