Задача из теории полей

[Tumofeu]

Здравствуйте!

Помогите разобраться со следующей задачей:
Пусть есть некоторое поле $F$ и отображение $\gamma: F->F$, такое что $\gamma(a)=a^{-1}$, если $a\not =0$ и $\gamma(a)=0$, если $a=0$. Доказать, что $\gamma$ является автоморфизмом поля $F$ тогда и только тогда, когда $F$ состоит не более, чем из 4 элементов.

Если честно, не знаю как подступиться. Думал попробовать доказать для полей мощности не более 4, что это автоморфизм, а для остальных (как я подозреваю) должны возникнуть противоречия в согласовании операций, но пока это никаких результатов не принесло.

Заранее спасибо.

[provincialka]

(Оффтоп)

Может, лучше все же написать "теория полей", а не "теория поля". Заголовок неправильно ориентирует.

А что вы пытались делать? Там решение очень простое.
Ясно, что преобразование $\gamma$ сохраняет мультипликативную структуру. Значит, надо проверить, что происходит со сложением.

[Tumofeu]

provincialka в сообщении #816069 писал(а):

(Оффтоп)

Может, лучше все же написать "теория полей", а не "теория поля". Заголовок неправильно ориентирует.

А что вы пытались делать? Там решение очень простое.
Ясно, что преобразование $\gamma$ сохраняет мультипликативную структуру. Значит, надо проверить, что происходит со сложением.

Да, с умножением все понятно. Я пробовал рассматривать поля мощности $5+$ и смотреть, что там происходит со сложением. Но ничего толкового у меня не получилось. Т.е., грубо говоря, есть поле из 5 элементов: 0, 1, 2, 3, 4. Здесь, проверим:

$(2+1)^{-1}=2^{-1}+1^{-1}$
$(3)^{-1}=3+1$
$2=4$

Т.е. противоречие. Соответственно, быть может, стоит по индукции проверить поля с большим количеством элементов?

[provincialka]

Не надо рассматривать конкретные поля, всех не перестреляешь пересмотришь. И индукцию здесь не применишь. Как вы себе представляете переход от поля к полю? А бесконечные поля как будете проверять, счетные (как $\mathbb Q$) и даже несчетные (как $\mathbb R$)?
Рассуждайте в общем виде. Сама идея правильная, просто вместо $2$ и $1$ рассмотрите $a$ и $b$. Или даже $a$ и $a$.

[Tumofeu]

Хорошо, рассмотрим
$(a+a)^{-1} = a^{-1} + a^{-1}$

Сумма в скобках представляет собой некоторый элемент $b$, значит
$b^{-1} = a^{-1} + a^{-1}$

Дальше несколько затрудняюсь...

[provincialka]

Вводить элемент $b$ не нужно. Лучше вспомните, что означает $a^{-1}$. Что такое обратный элемент по определению.

[Tumofeu]

Обратный элемент: $aa^{-1}=1$

[provincialka]

Ну, и? Делайте следующий шаг без подсказки. У вас в равенство входит выражение $(a+a)^{-1}$. Запишите для него такое же равенство.

-- 18.01.2014, 15:42 --

Кстати, для произвольного поля можно, как и для чисел, ввести обозначение $a+a+...+a=na$ (там $n$ слагаемых). Только надо понимать, что это не групповое умножение, так как $n$, вообще говоря, не элемент поля. Однако некоторые свойства сохраняются, например, $n\cdot (ma)=(nm)a$ и $(na)\cdot (ma)=(nm)a^2$

[Tumofeu]

$(a+a)^{-1} = a^{-1}+a^{-1}$

С другой стороны:
$(a+a)^{-1}(a+a) = 1$

Можно домножить 1 выражение на $(a+a)$:
$(a+a)(a+a)^{-1} = (a+a)(a^{-1}+a^{-1})$

Отсюда
$(a+a)(a^{-1}+a^{-1}) = 1$, или это я уже не туда иду?

[nnosipov]

Лучше рассуждать так. Пусть $a$ --- произвольный элемент поля, отличный от нуля и от единицы. Тогда $(a-1)^{-1}=a^{-1}-1$. Много ли может быть в поле таких элементов $a$?

[provincialka]

Честно говоря, я немного поторопилась, назвав эту задачу "легкой". Кое-какие сведения о поле получаются легко. Но до конца дойти пока не удалось. Может, идея nnosipov поможет. Только я пока не вижу, как (я вместо разности сумму проверяла).

[nnosipov]

(Подсказка)

В поле многочлен имеет корней не более, чем его степень.

[Tumofeu]

nnosipov в сообщении #816121 писал(а):

Лучше рассуждать так. Пусть $a$ --- произвольный элемент поля, отличный от нуля и от единицы. Тогда $(a-1)^{-1}=a^{-1}-1$. Много ли может быть в поле таких элементов $a$?

Честно говоря, затрудняюсь с ответом... $n-2$, где $n $- порядок поля?

[nnosipov]

Tumofeu в сообщении #816147 писал(а):

Честно говоря, затрудняюсь с ответом... $n-2$, где $n $- порядок поля?

Это с одной стороны. А с другой? Вот отсюда Вы про возможные значения $n$ и узнаете.

[Tumofeu]

Т.е. теперь надо сделать вывод про $n$ на основании условия $(a-1)^{-1}=a^{-1}-1$?