Два интеграла

[Cobert]

Помогите решить два интеграла:

$$\int {\frac{\sin{2x}}{2e^{3x}}}dx$$ $$\int {\frac{-\sin{2x}}{2e^{x}}}dx$$

[AD]

В комплексные числа шагом марш!
$\sin2x=\mathrm{Im}\,(e^{2xi})$, экспоненту сможете проинтегрировать?

[Cobert]

Эм... Я как бы это... На инженерном учусь... Если уж такое дело, нужно другим способом попробывать решить дифференциальное уравнение. А то наш математик заподозрит нехорошее....

Ну, за подсказку спасибо, а то я-то уж думал, что все, отупел, такой легкий интеграл решить не могу. А тут, оказывается, комплексные числа. Я про них только и знаю, что они есть. Мне даже и не стоит спрашивать, что такое Im.

[AD]

Как же инженеру без комплексных чисел? Im - это мнимая часть. С применением комплексных чисел этот интеграл решается в одну строчку.

Ну если боитесь - другой стандартный прием.
Проинтегрируйте два раза по частям, загоняя под дифференциал синус и косинус соответственно, и сравните то, что получилось, с исходным интегралом. Ну получается в три строчки.

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

P.S. старшее поколение рассказывает, что раньше комплексные числа в школе изучали ...

[Антипка]

С комплексными числами преподавателю точно не понравится. "Правильным" образом интеграл брется так:
1. Для начала переносишь экспоненту в числитель.
2. Дважды берешь интеграл по частям, причем не важно, "в каком направлении", при этом ты вернешься к прежнему интегралу.
3. В итоге получаешь уравнение, слева - твой интеграл, а справа - три слагаемых, одно их которых - твой интеграл но с коэффициенто, отличным от 1.
4. Решаешь уравнение и получаешь выражение для своего интеграла.

Вот пример:
$\begin{gathered} I = \int {e^x \cos xdx = } \int {e^x (\sin x)'dx = } \hfill \\ = e^x \sin x - \int {(e^x )'\sin xdx = } \hfill \\ = e^x \sin x - \int {e^x \sin xdx = } \hfill \\ = e^x \sin x - \int {e^x ( - \cos x)'dx = } \hfill \\ = e^x \sin x + \int {e^x (\cos x)'dx = } \hfill \\ = e^x \sin x + e^x \cos x - \int {e^x \cos xdx} \hfill \\ \end{gathered}$
откуда получаем (не забываем про константу C):
$\int {e^x \cos xdx} = \frac{{\sin x + \cos x}} {2}e^x + C$

[photon]

Cobert писал(а):

А тут, оказывается, комплексные числа

Можно и без комплексных, просто так проще получается.

У вас интеграл вида $A\int\sin2x e^{-3x}dx$. Проинтегрируете по частям, получите: $B+C\int\cos2x e^{-3x}dx$. Проинтегрируете по частям еще разок, и получите $D+E\int\sin2x e^{-3x}$, где все эти большие буквы - известные функции от $x$ (ну или константы)

Теперь сравните что было, с тем, что получилось:

$A\int\sin2x e^{-3x}dx=D+E\int\sin2x e^{-3x}dx$. Обозначаем неизвестный нам интеграл через, скажем $\mathfrak{I}$, - получаем уравнение относительно $\mathfrak{I}$, решаем его, ну и в конце вспоминаем, что нас интересует не сам $\mathfrak{I}$, а $A\mathfrak{I}$

Добавлено спустя 1 минуту 14 секунд:

пока писал, меня обогнали

[bot]

AD писал(а):

P.S. старшее поколение рассказывает, что раньше комплексные числа в школе изучали ...

Таких, что изучали в школе (в обычной) здесь, если и есть - по пальцам перечесть. Вот мои старшие брат и сестра это изучали, а я сначала от скуки на уроке заглянул в учебник - там это тогда ещё оставалось, а потом понравилось, ну хотя бы потому, что тригонометрические формулки ведь в момент получаются. Бином и комбинаторику тоже от скуки на уроках изучал. С училкой проблемы из-за этого имел.

photon писал(а):

Можно и без комплексных, просто так проще получается.

Не очень понял, что проще - можно и так и эдак понять. На мой взгляд проще с комплексными, к тому же сразу два интеграла за один проход разгибаются.

[photon]

bot писал(а):

Не очень понял, что проще - можно и так и эдак понять.

Хм, у меня не возникло ощущения неоднозначности: имелось в виду, что можно пойти обходным путем (без комплексных), но тот вариант, который предложен (с комплексными) попроще.