Лучезарные числа, отзывчивые числа

[Ktina]

(по мотивам задачи Л. Емельянова)

Натуральное число называется лучезарным, если оно не может быть представлено в виде

$$\dfrac{n}{m}+\dfrac{n+1}{m+1}$$

, где $n, m\in\mathbb {N}$

Лучезарное число называется отзывчивым, если оно "отзывается" хотя бы на один из трёх следующих критериев:

1) Оно простое.

2) Оно является полной степенью (числом вида $a^b$, где $a, b \in\mathbb N, b>1$)

3) Оно является факториалом натурального числа.

Сколько существует отзывчивых чисел?

[gris]

Можно для начала выявить обычные числа, нелучезарные. Лучи, знаете ли, раздражают, если постоянно их зорят.
Имеем бандл арифметических прогрессий от двойки. Ktiniно решето, понимаешь. И что остаётся? Надо подумать.

Ну единичка трижды отзывчива. Тоже раздражает иногда. <кто-то считает единицу простым числом. Не?>

Вообще чего-то всё раздражает

Единичка, да одна простяшка, да одна степенюшка, да одна факториашка. А остальные не пролезут сквозь $\mathbb K$-сито по нечётности или делимости на $4$.

Конечно, надо бы доказать, что выражение равно целому числу только тогда, когда оба слагаемых целые. Но это уж сложновато будет.

[Ktina]

gris в сообщении #815979 писал(а):

Конечно, надо бы доказать, что выражение равно целому числу только тогда, когда оба слагаемых целые. Но это уж сложновато будет.

Числа $m$ и $m+1$ взаимопросты

[nnosipov]

Ktina в сообщении #815940 писал(а):

Натуральное число называется лучезарным, если оно не может быть представлено в виде

$$\dfrac{n}{m}+\dfrac{n+1}{m+1}$$

, где $n, m\in\mathbb {N}$

Это единица и все числа вида $2^k+2$, где $k$ --- натуральное.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #815999 писал(а):

Это единица и все числа вида $2^k+2$, где $k$ --- натуральное.

Вы забыли кое-что

[nnosipov]

Да, тройку забыл. Надо было написать: $2^k+2$, где $k$ --- неотрицательное целое число.

-- Сб янв 18, 2014 15:12:20 --

Ktina, подскажите, откуда эта задача, что-то не могу найти. Зато сразу наткнулся на задачу, где речь идёт о выражении

$$ \frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}. $$

[Ktina]

nnosipov в сообщении #816013 писал(а):

-- Сб янв 18, 2014 15:12:20 --

Ktina, подскажите, откуда эта задача, что-то не могу найти. Зато сразу наткнулся на задачу, где речь идёт о выражении

$$ \frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}. $$

http://hijos.ru/oblastnye-olimpiady-po- ... /11-klass/
(задача 11.4)