2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 01:36 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
(по мотивам задачи Л. Емельянова)

Натуральное число называется лучезарным, если оно не может быть представлено в виде
$$\dfrac{n}{m}+\dfrac{n+1}{m+1}$$
, где $n, m\in\mathbb {N}$

Лучезарное число называется отзывчивым, если оно "отзывается" хотя бы на один из трёх следующих критериев:

1) Оно простое.

2) Оно является полной степенью (числом вида $a^b$, где $a, b \in\mathbb N, b>1$)

3) Оно является факториалом натурального числа.

Сколько существует отзывчивых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 07:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Можно для начала выявить обычные числа, нелучезарные. Лучи, знаете ли, раздражают, если постоянно их зорят.
Имеем бандл арифметических прогрессий от двойки. Ktiniно решето, понимаешь. И что остаётся? Надо подумать.

Ну единичка трижды отзывчива. Тоже раздражает иногда. <кто-то считает единицу простым числом. Не?>

Вообще чего-то всё раздражает :-(

Единичка, да одна простяшка, да одна степенюшка, да одна факториашка. А остальные не пролезут сквозь $\mathbb K$-сито по нечётности или делимости на $4$.

Конечно, надо бы доказать, что выражение равно целому числу только тогда, когда оба слагаемых целые. Но это уж сложновато будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 09:44 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris в сообщении #815979 писал(а):
Конечно, надо бы доказать, что выражение равно целому числу только тогда, когда оба слагаемых целые. Но это уж сложновато будет.

Числа $m$ и $m+1$ взаимопросты :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 10:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8059
Ktina в сообщении #815940 писал(а):
Натуральное число называется лучезарным, если оно не может быть представлено в виде
$$\dfrac{n}{m}+\dfrac{n+1}{m+1}$$
, где $n, m\in\mathbb {N}$
Это единица и все числа вида $2^k+2$, где $k$ --- натуральное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 10:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #815999 писал(а):
Это единица и все числа вида $2^k+2$, где $k$ --- натуральное.

Вы забыли кое-что :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 10:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8059
Да, тройку забыл. Надо было написать: $2^k+2$, где $k$ --- неотрицательное целое число.

-- Сб янв 18, 2014 15:12:20 --

Ktina, подскажите, откуда эта задача, что-то не могу найти. Зато сразу наткнулся на задачу, где речь идёт о выражении
$$
\frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучезарные числа, отзывчивые числа
Сообщение18.01.2014, 11:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #816013 писал(а):
-- Сб янв 18, 2014 15:12:20 --

Ktina, подскажите, откуда эта задача, что-то не могу найти. Зато сразу наткнулся на задачу, где речь идёт о выражении
$$
\frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}.
$$

http://hijos.ru/oblastnye-olimpiady-po- ... /11-klass/
(задача 11.4)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group