Каков физический смысл варьирования функций ?

[Neuter]

Господа !
Чем в принципе отличается варьирование от нахождения производной ?

[Sicker]

(Оффтоп)

мне бы кто рассказал

[Munin]

Бесконечномерностью. Больше ничем.

-- 18.01.2014 03:00:53 --

А, тьфу. Варьирование параллельно нахождению не производной, а дифференциала: $\delta x(t)\parallel dx,$ и соответственно, $\delta f\parallel dy.$ А производной параллельно нахождение вариационной производной:

$$\dfrac{\delta f}{\delta x(t)}\quad\parallel\quad\dfrac{dy}{dx}.$$

Причём с учётом того, что $x(t)$ ведёт себя как многомерный вектор, надо учитывать, что такая вариационная производная - аналог вектора градиента, или производной Фреше. (Википудия говорит, что это и есть производная Фреше. Видимо, это два разных языка, описывающих одно и то же.)

[fizeg]

если совсем по-простому.

Что-такое обычная производная функции? Вы сравниваете значение функции в исходной точке $f(x)$ с ее значением в немного другой точке $f(x+\epsilon)$. Производная $f'(x)$ дает вам, насколько меняется значение функции
$f(x+\epsilon)\simeq f(x)+f'(x)\epsilon+\dots$

Вариационная же производная работает не с функциями от чисел, а от функциями, значения которых зависят от путей (функционалами)
Т.е. у вас задана некоторая функция $x(t)$, называемая путем. Чтобы рассмотреть вариационную производную нам нужна такая функция $f[x(t)]$, которая бы зависела некоторым образом от значения $x(t)$ для любого допустимого $t$. Сдвинем слегка путь $x(t)\mapsto x(t)+\delta x(t)$, тогда вариационная производная $\frac{\delta f}{\delta x(t)}$ дает вам, насколько меняется значение функционала
$f[x(t)+\delta x(t)]\simeq f[x(t)]+\int_{t_1}^{t_2} dt \frac{\delta f}{\delta x(t)} \delta x(t)+\dots$

-- 18.01.2014, 03:08 --

В духе того, что сказал Munin вариация - это аналог дифференциала. Слово "варьирование" по-моему используют скорее для процесса, когда некто пыжится и ищет эту самую вариационную производную. Также как "дифференцирование" - процесс нахождения производной

[Neuter]

Munin, fizeg благодарю за чёткое объяснение.

[svv]

Может, Вам будет яснее, если представить $\delta x(t)$ в виде произведения самой обычной функции $y(t)$ (произвольная, лишь бы была дифференцируемой и стремилась к нулю на концах) и стремящегося к нулю множителя $\varepsilon$.