Комбинаторика

[MestnyBomzh]

В зачетную неделю студентам необходимо сдать 7 экзаменов в течение 6 дней. Сколькими способами можно составить расписание, если экзамены студенты считают различными, а порядок экзаменов в течение дня важен?
Была единственная идея рассмотреть все возможные разбиения $7$, однако таких случаев $12$, да и даже в таком случае я посчитал-неверно. Подскажите кто-нибудь

[provincialka]

Попробуйте выписать подряд экзамены и 5 ночей между ними. Сколько таких расстановок? Различаются ли между собой ночи (в смысле этой задачи, конечно).

[Shadow]

(Оффтоп)

MestnyBomzh в сообщении #815324 писал(а):

если экзамены студенты считают различными

Очень важное условие. Мне приходилось сдавать теорию вероятностей, когда готовился по политэкономии (даты перепутал)...один из самых трудных экзаменов в моей жизни.
Смешно, но теорию вероятностей сдал, а политэкомию - нет. (Ну, не с первого раза).

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #815330 писал(а):

Попробуйте выписать подряд экзамены и 5 ночей между ними. Сколько таких расстановок? Различаются ли между собой ночи (в смысле этой задачи, конечно).

Ваше предложение не очень понял, но недавно в голову пришла идея: первый экз. можем расположить $6$ способами. 2-ой экз. $7$ способами (появляется ещё одно место, так как 2 экз. можем расположить до или после первого или в любой из оставшихся дней), третий $8$ способами и т.д. до 12. С ответом сошлось:)

-- 17.01.2014, 22:49 --

Shadow,

(Оффтоп)

видимо, автор задачи также сталкивался с подобной ситуацией и указал это в условии)

[provincialka]

Ну, можно и так. Но рассуждение с перегородками - стандартное. Рассмотрим 7 экзаменов и 5 перегородок (ночей). Любое распределение экзаменов по дням соответствует некоей перестановке этих объектов. Однако перегородки неразличимы (ночи переставлять нельзя). Поэтому число перестановок надо поделить на 5!. Ответом будет $\frac{(5+7)!}{5!}=A_{12}^5$. Если бы экзамены были неразличимы, ответом было бы $C_{12}^5$

[nikvic]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #815385 писал(а):

Смешно, но ... политэкомию - нет. (Ну, не с первого раза).

Для сдачи подобных наук нужно было привести себя в хорошую идеологическую форму.
Помогала система Станиславского.

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #815848 писал(а):

Если бы экзамены были неразличимы, ответом было бы $C_{12}^5$

В таком случае выписываем 12 элементов подряд и выбираем $C_{12}^5$ 5 элементов, которые и будут ночами?

[provincialka]

Да. Это задача о числе разбиений числа на фиксированное число слагаемых. При этом порядок слагаемых учитывается.
Кстати, MestnyBomzh, а вы читали какие-нибудь книги по комбинаторике (за пределами краткого упоминания в курсе ТВ)? Там все эти задачи подробно разбираются.

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #815883 писал(а):

Да. Это задача о числе разбиений числа на фиксированное число слагаемых. При этом порядок слагаемых учитывается.
Кстати, MestnyBomzh, а вы читали какие-нибудь книги по комбинаторике (за пределами краткого упоминания в курсе ТВ)? Там все эти задачи подробно разбираются.

Нет, книг по комбинаторике не читал. Да и времени нет на них, сейчас все темы заново прочитываю, решаю по ним задачи - к пересдаче готовлюсь.

-- 18.01.2014, 17:50 --

Дабы не создавать ещё одну тему напишу сюда:
1. Та же задача с 32-мя картами, только вопрос другой: в скольких случаях среди выбранных карт (по-прежнему выбирается 10 карт) окажется не менее 7-ми карт одной масти. Мой ответ: $4(C^7_8 C^3_{24}+C^8_8 C^2_{24})$
2. Сколькими способами можно расставить в матрице $4 \times 4$ 6 единиц (и 10 нулей), чтобы получившееся бинарное отношение было рефлексивным?
Мой ответ: $C^2_{12}$
3. 5 акционеров владеют всеми 100 акциями некоторого предприятия. Сколькими способами можно разделить эти акции между ними, если кто-то владеет более, чем половиной акций?
Эта задача вызвала некоторые затруднения: можно расположить 104 объекта и выбрать $C^4_{104}$ способами "разделители" между акционерами, но как тут учесть то что у одного из акционеров $>50$ акций?

[provincialka]

2. Верно
3. Человек с контрольным пакетом только один. Выбираем его. Отдаем ему 51 акцию, а потом делим между всеми остальные 49. Это решение предполагает, что у кого-то может быть и 0 акций. Если нет - модифицируйте решение.

[MestnyBomzh]

provincialka, но ведь мы можем этому "ведущему" человеку дать не только 51 акцию, но и 52 и даже 100

[provincialka]

Можем. И так и сделаем в результате раздачи остальных акций. Я же не предлагала раздавать акции только четырем. Всем пяти!

[gris]

Не в оффтоп будет сказано

Уважаемая и обожаемая provincialka!
Поздравляю Вас с первой Звездой, с форумным Днём Рождения!
Да ещё с таким солидным и высококачественным корпусом сообщений!
Ура

[provincialka]

Спасибо! Тронута!

[MestnyBomzh]

Пусть первый акционер владеет контрольным пакетом и у него 51 акция. Тогда между остальными мы можем распределить акции $C^3_{52}$ способами. Если у первого акционера 52 акции, то остальные акции можем распределить $C^3_{51}$. Рассуждая аналогичным способом получим: $\sum _{i=0}^{49}C_{52-i}^3 $. Учитывая то, что акционеров 5, получим: $5\sum _{i=0}^{49}C_{52-i}^3$. Верно?

-- 18.01.2014, 20:44 --

gris в сообщении #816227 писал(а):

Не в оффтоп будет сказано

Уважаемая и обожаемая provincialka!
Поздравляю Вас с первой Звездой, с форумным Днём Рождения!
Да ещё с таким солидным и высококачественным корпусом сообщений!
Ура

Присоединяюсь к поздравлениям!