Вот полный текст доказательства того, что

, попутно доказывается тот факт, что все треугольники равносторонние

Рисунок:

Рассмотрим произвольный

. Проведем биссектрису угла

и серединный перпендикуляр к стороне (середина

- точка

)

; Точку их пересечения назовем

. Опустим из неё перпендикуляры

и

соответственно.
Так как

- биссектриса, то, из равенства

и

следует равенство

; Так как

одновременно и высота, и медиана

, то он равнобедренный и

. Значит прямоугольные треугольники

и

равны (из-за равенства

и равенства гипотенуз) Значит

Итого:

. Аналогично рассуждая для другой стороны докажем, что всякий треугольник равносторонний. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Как было доказано ранее, он равносторонний, а значит все его стороны равны

. По теореме Пифагора:

, значит

, вычитая единицу из последнего равенства получаем:

, что и требовалось доказать.
Я думаю, что форумчане легко найдут подвох:) Как по мне красивое доказательство, без всяких "скрытых" делений на ноль. Так вот, неужели

определило где пересекутся биссектриса и серединный перпендикуляр? Казалось бы, две совершенно не относящиеся друг к другу вещи, а как получилось то!
