Обратная задача для уравнения Лапласа

[orka]

Всем привет!
уважаемые форумчане, помогите разобраться с обратной задачей(в варианте для граничных условий)
Как я понимаю обратную задачу, есть такая постановка(г.у. пусть будут первого рода):
$\Delta u = 0, x \in [0;l_x], y \in [0;l_y]$
$u(0, y) = \varphi_1(y)$
$u(l_x, y) = \varphi_2(y)$
$u(x, 0) = \varphi_3(x)$
$u(x, l_y) = \varphi_4(x)$
при этом у нас есть решение задачи, какое-то $u_{a}$, но неизвестно одно условие на границе (допустим $\varphi_3(x)$, верно?)

Как я понимаю решение вышеприведенного(решить нужно численно):
1)параметризовать неизвестную функцию -- $\varphi(x) = Ax^2 + Bx + C$
2)прикинуть какие-н. начальные значения $A, B, C$ -- решить это учп численно итерационным методом(получив, допустим, $u_0$)
3)глянуть разницу с известным решением: $u_{a} - u_{0}$
4)и так далее, минимизировать получившуюся функцию $u_{a} - u_{k}(A, B, C)$ методом оптимизации нулевого порядка(Нелдера-Мида), найти подходящие $A, B, C$

собственно как-то так, поиск по форуму вроде бы ничего не выдал. Просьба по лицу не бить, если где-то тут ужасная ошибка и непонимание правильно ли я все понимаю? и если нет, просьба поделиться материалом, где можно разузнать про обратные задачи и их решения с методами безградиентной минимизации.

[Утундрий]

Если решение известно, то просто вычислите его значение на границе. В чём вопрос-то?

[orka]

мда, слона я и не приметил , вопрос в правильной постановке обратной задачи для граничного условия и ее решения численно

[Утундрий]

Поставьте, будьте добры, задачу. Не важно, обратна она какой-то другой задаче, ортогональна, косоортогональна, трансверсальна или комплементарна. К чёрту термины! Просто поставьте ту самую задачу, которую хотите рассмотреть.

[orka]

Хороший вопрос, на который я, собственно, и не знаю ответ. Уточняя первый пост, судя по всему:
решение самого УЧП у нас есть, только численное и только внутри области, а не на границе. Как я в первом посте и указал нам известны 3 граничных, а одно граничное неизвестно... как-то так

[Утундрий]

orka в сообщении #814863 писал(а):

нам известны 3 граничных, а одно граничное неизвестно...

Значит, решения нет. Возможно требуется отыскать решение, удовлетворяющее заданным условиям на части границы и заодно восстановить его значение на остальной части границы. Тогда все эти последовательные приближения имеют смысл.

[orka]

да, точно, решение нам неизвестно я, похоже, имел в виду что мы можем итерационным методом решить это УЧП представив неизвестную граничную функцию $\varphi_3(x)$ каким-нибудь приближением... черт, похоже Вы верно сформулировали то, что мне и нужно было. Действительно, надо найти решение, удовлетворяющие 3м условиям + восстановить его на неизвестной части границы. Подтягивая таким образом граничное условие, мы получим приближенное решение. Ну и собственно

Цитата:

Тогда все эти последовательные приближения имеют смысл.

правильно ли я понимаю, Вы тут говорите о том, что в первом посте изложено более-менее верное решение и ему следует сделать практическую реализацию?

[Утундрий]

Вы сначала разберитесь верна ли постановка задачи. предположим, что верна. Тогда нужно максимально использовать геометрию области. Прямоугольник подразумевает метод разделения переменных Фурье, вот его и используйте. Только не забудьте обнулить известные гран-условия подходящими аддитивными добавками. Ну а с неизвестным условием надо что-то выдумывать, может и обойдёмся без итераций.

P.S. А кто и зачем обозвал эту задачу "обратной"?

[orka]

к счастью для меня -- решать нужно численно на счет постановки -- кхммм я как раз это и хотел уточнить, верно ли так ставить условие задачи? И, если да, то верно ли такое решение
почему она "обратная", хммм, да в той же книжке Самарского про обратные задачи, вроде бы, так же

[Утундрий]

orka в сообщении #814909 писал(а):

в той же книжке Самарского

В какой же? Их сильно не одна.

В общем, сперва выясните, расскажите, а там и продолжим.

[Утундрий]

Если приведёте конкретные $\varphi$, то решение пойдёт веселей.