Бинарные отношения (+немного Комбинаторики)

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #814902 писал(а):

Здесь декартово произведение $A\times A$.

А что такое декартово произведение?

MestnyBomzh в сообщении #814902 писал(а):

пары

Какие именно "пары"? Нет просто "пар", есть "пары" разных видов.

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #814952 писал(а):

Если брать с возвращением,

Что значит "если"? А как по-другому? Это же не теория вероятностей, никакого реального "вынимания" карт ни из какой колоды нет!

[MestnyBomzh]

Someone в сообщении #814954 писал(а):

А что такое декартово произведение?

Все возможные..отношения, в данном случае. То есть симметричные пары, всё же, будут разными

provincialka в сообщении #814963 писал(а):

Что значит "если"? А как по-другому? Это же не теория вероятностей, никакого реального "вынимания" карт ни из какой колоды нет!

Я как-то считал, что комбинаторика всё же связана со здравым смыслом и реальными событиями

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #815070 писал(а):

Я как-то считал, что комбинаторика всё же связана со здравым смыслом и реальными событиями

Как и вся математика - только опосредованно. Хотя здесь это возражение ни при чем. Просто это другая задача, хотя слова и похожие.

MestnyBomzh в сообщении #815070 писал(а):

Все возможные..отношения, в данном случае. То есть симметричные пары, всё же, будут разными

То есть как? Отношения или пары?

Когда мне приходилось рассказывать об отношениях, я заметила, что студенты путают обыденное понимание и математическое. В частности, путают связь, существующую для данной пары, с отношением в целом, то есть множеством пар. Может, у вас та же проблема?

-- 16.01.2014, 11:47 --

Все-таки ответьте на вопрос:

Someone в сообщении #814954 писал(а):

Какие именно "пары"? Нет просто "пар", есть "пары" разных видов.

[MestnyBomzh]

provincialka, я попробую объяснить. Я понял задачу как: сколько подходящих пар? Но я забыл, что пары $(x,y)$ и $(y,x)$ будут разными, потому что обе будут входить в отношение, а я же посчитал их за одинаковые, забыв про то, что обе входят в отношение по отдельности

[shkolnik]

Извините, что вмешиваюсь с вопросами, а не с ответами (интересно стало):
- являются ли карты и колода множествами, если все элементы даны в единственном экземпляре (т.е. нельзя составить пару из одной и той же карты или дважды вытащить одну и туже карту) ?
- все ли отношения, являются отношениями порядка, когда между $(a,b) (b,a)$ есть разница (например, отношение равенства не требует различий, иначе $(a,a) \neq (a,a)$) ?
- в чем разница: Декартово произведение – это все возможные отношения и Декартово произведение – это все возможные пары, ведь объединение множества пар всех отношений и есть множество всех пар ?

[svv]

shkolnik в сообщении #815254 писал(а):

являются ли карты и колода множествами, если все элементы даны в единственном экземпляре (т.е. нельзя составить пару из одной и той же карты или дважды вытащить одну и туже карту) ?

Колода карт — это множество карт.

Никакие элементы множества не входят в него дважды (или входят, или нет). Любой элемент уникален.

К этому не имеет отношения то, есть ли в колоде «одинаковые» карты (у которых совпадают все атрибуты). Если такие есть, они будут разными элементами множества «колода».

Даже если в колоде нет одинаковых карт, всё равно возможно рассмотреть пару из карты и её же самой. В декартовом произведении множества планет на себя есть пара (Марс, Марс), хотя Марс на свете только один.

shkolnik в сообщении #815254 писал(а):

все ли отношения, являются отношениями порядка, когда между $(a,b) (b,a)$ есть разница (например, отношение равенства не требует различий, иначе $(a,a) \neq (a,a)$) ?

Упорядоченная пара, составленная из двух одинаковых элементов, не изменится, если их поменять местами. Это будет та же пара: если $a=b$, то $(a, b)=(b, a)$.

Из того, что отношение является рефлексивным и антисимметричным, не следует, что это отношение порядка. (Я, возможно, усилил Ваше условие, чтобы показать, что всё равно не обязательно получается отношение порядка.) Например, на множестве $\{a, b, c\}$ зададим отношение, обозначаемое символом $\leqslant$. Пусть
$a\leqslant a$, $b\leqslant b$, $c\leqslant c$
$a\leqslant b$, $b\leqslant c$, $c\leqslant a$
(и только эти пары). Транзитивность не выполняется.

shkolnik в сообщении #815254 писал(а):

в чем разница: Декартово произведение – это все возможные отношения и Декартово произведение – это все возможные пары, ведь объединение множества пар всех отношений и есть множество всех пар ?

Декартово произведение — это все возможные пары (не отношения). Для конечного множества $A$ из $n$ элементов множество $A\times A$ содержит $n^2$ элементов. Следовательно, $A\times A$ имеет $2^{n^2}$ различных подмножеств. Следовательно, на $A$ существует $2^{n^2}$ различных отношений.

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #815193 писал(а):

Я понял задачу как: сколько подходящих пар?

Каких "подходящих"?
Вы как-то очень плохо учебник читали.
Вы можете точно процитировать определение произведения множеств? В нём должно быть написано, какие пары. Ваши проблемы и шатания ("разные пары", "одинаковые пары") связаны именно с неточным знанием определения.

[svv]

Рискну предположить, что, помимо определений, ТС не хватает стандартных языковых выражений из математического обихода (по себе знаю). Например, он хотел бы сказать: «Надо найти, сколько пар $(a, b)$ находится в отношении $R$». Но он нигде не встречал такой конструкции, вот и заменяет её самодельными.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

"Сколько пар принадлежат отношению $R$"?

[svv]

(Оффтоп)

Хорошо. Но все время кажется, что у слова «отношение» есть не только теормножественный, но и пропозициональный аспект, и хочется иметь конструкцию, которая бы как-то подчеркивала это. Типа: отношение $R$ выполняется для пары $(a, b)$. Так — нормально?

[MestnyBomzh]

Someone в сообщении #815328 писал(а):

Каких "подходящих"?
Вы как-то очень плохо учебник читали.
Вы можете точно процитировать определение произведения множеств? В нём должно быть написано, какие пары. Ваши проблемы и шатания ("разные пары", "одинаковые пары") связаны именно с неточным знанием определения.

Прямым произведением множеств $A$ и $B$ называется множество всех пар $(a,b)$, таких, что $a\in A$ и $b\in B$. Я же об этом и говорил: все пары. Про "подходящие" пары: в декартово произведение входят все пары, а те, которые входят в введенное отношения я и называю подходящими.