Переход от одного базиса линейного пространства к другому.

[philosof8848]

Для перехода от данного базиса к ортонормированному применяют громоздкую рекуррентную формулу(не буду писать). Я подумал: не легче ли составить матрицу из координат исходных базисных векторов, привести ее к диагональному виду и разделить каждую строку-вектор в ней на модуль соотв. вектора? В итоге мы придем к единичной матрице, но для пространства любой размерности в качестве ортонормированного базиса можно принять систему векторов, которая образует единичную матрицу. Есть ошибка в рассуждениях?

[svv]

Интерес представляет не то, как векторы ортонормированного базиса будут выглядеть в новом же базисе (красиво; это мы знаем), а как их построить из тех неуклюжих (но понятных, определенных) объектов, что даны вначале. Иными словами — матрица перехода.

И давайте уточним детали.

philosof8848 в сообщении #814388 писал(а):

не легче ли составить матрицу из координат исходных базисных векторов

Если в базисе $\{\mathbf e_i\}$ записать в виде матрицы координаты этих же векторов (в правильном порядке), всегда будет единичная матрица. Мы уже достигли цели и ничего делать не нужно? Но не забывайте, что такой вид матрицы вовсе не означает, что базис ортонормированный.

[arseniiv]

Ага. Вот матрица с элементами $\mathbf e_i\mathbf e_j$ будет единичной тогда и только тогда, когда базис ортонормированный.

[svv]

P.S. Критерием того, что система векторов ортонормированная, является «красота» не матрицы, составленной из координат векторов в каком-либо базисе, а матрицы Грама, составленной из скалярных произведений всевозможных пар векторов.

= arseniiv

[philosof8848]

Похоже, вы меня не так поняли, либо я объяснил неуклюже; под исходными базисными векторами я имел ввиду не базис i j k, а базис данный в условии задачи. Просто даны координаты эн векторов в эн-мерном пространстве, причем эти векторы линейно независимы. Нужно "ортонормировать" этот базис

[svv]

Хорошо. Один из этапов Вашего построения — приведение матрицы координат векторов к диагональному виду. Я задаю Вам вопрос. Допустим, дана такая система векторов, координаты которых сразу образуют диагональную и даже единичную матрицу (скажем, координаты векторов базиса в нём самом). Что Вы будете делать дальше?

[Dan B-Yallay]

ТС думает, что нашел новый способ построения ортонормированного базиса. Процедура Грама-Шмита не устраивает в силу

philosof8848 в сообщении #814388 писал(а):

применяют громоздкую рекуррентную формулу(не буду писать)

. Поэтому предлагает "совершенно новый метод" - с помощью приведения матрицы (из данных векторов) к диагональному виду и нормировки.
По моему это те же яйца, только вид сбоку. Hо разбираться лень.

[philosof8848]

svv, а зачем что-либо делать дальше?
Dan-B-Yallay, сарказм неуместен - я еще в первом сообщении дал понять, что ищу ошибку в своих рассуждениях.

-- 15.01.2014, 02:40 --

svv, кажется, понял - при "ортонормировании" базиса должен остаться хотя бы один нормированный вектор заданного базиса, так?

-- 15.01.2014, 02:47 --

Поэтому, Dan B-Yallay, Вы неправы - это не те же яйца.

[svv]

Для простоты я буду считать (как и Вы), что система векторов $\{\mathbf e_n\}$, из которой надо построить ортонормированную систему, образует базис линейного пространства.

philosof8848 в сообщении #814550 писал(а):

svv, а зачем что-либо делать дальше?

Это означает, что Вы думаете, что такая система векторов уже ортонормирована.

Но это не так (в общем случае). Она была бы таковой, если бы скалярное произведение в базисе $\{\mathbf e_n\}$ тоже задавалось единичной матрицей:
$(\mathbf x, \mathbf y)=x^T E y=x^T y=\sum\limits_k x^k y^k$
В таком случае и не нужен был бы процесс Грама-Шмидта, система $\{\mathbf e_n\}$ есть уже то, что нужно.

А в общем случае
$(\mathbf x, \mathbf y)=x^T G y=\sum\limits_{i,k} g_{ik} x^i y^k$
Матрица $G$ определяет в базисе $\{\mathbf e_n\}$ скалярное произведение. Каждый её элемент $g_{ik}$ — это скалярное произведение $\mathbf e_i$ и $\mathbf e_k$. Матрица $G$ не диагональная $\Rightarrow$ базис не ортогональный. И работа только начинается. И это при том, что матрица, о которой Вы говорили, здесь уже единичная.

Весь процесс Грама-Шмидта опирается на эти скалярные произведения $(\mathbf e_i, \mathbf e_k)=g_{ik}$.

philosof8848 в сообщении #814550 писал(а):

при "ортонормировании" базиса должен остаться хотя бы один нормированный вектор заданного базиса, так?

Такого требования нет. В процессе Грама-Шмидта так и получается с первым вектором. Но это просто особенность процедуры, это условие не обязательно.

[philosof8848]

Но, подождите, для единичной матрицы матрица скалярных произведений G также единичная.
Для ортонормированного базиса есть только два условия: скалярные произведения векторов с неодинаковыми индексами равны нулю, а с одинаковыми - единице, и каждый его вектор должен линейно выражаться через векторы заданного базиса В.
Для канонического базиса первое условие выполняется(т.е. G - единичная матрица), также и со вторым условием: если векторы системы В образуют базис, то любой вектор линейного пространства, в котором они находятся, линейно выражается через них.
Я не могу понять: если необязательно, скажем так, направление хотя бы одного из векторов ортонормированного базиса должно совпадать с направлением вектора из базиса В, то почему нельзя просто взять канонический базис?
Знаю, что есть ошибка, но в чем?

[popolznev]

philosof8848 в сообщении #814620 писал(а):

Но, подождите, для единичной матрицы матрица скалярных произведений G также единичная.
Для ортонормированного базиса есть только два условия: скалярные произведения векторов с неодинаковыми индексами равны нулю, а с одинаковыми - единице, и каждый его вектор должен линейно выражаться через векторы заданного базиса В.
Для канонического базиса первое условие выполняется(т.е. G - единичная матрица), также и со вторым условием: если векторы системы В образуют базис, то любой вектор линейного пространства, в котором они находятся, линейно выражается через них.
Я не могу понять: если необязательно, скажем так, направление хотя бы одного из векторов ортонормированного базиса должно совпадать с направлением вектора из базиса В, то почему нельзя просто взять канонический базис?
Знаю, что есть ошибка, но в чем?

Вы неправильно понимаете, что такое скалярное произведение.

[svv]

philosof8848 в сообщении #814620 писал(а):

Но, подождите, для единичной матрицы матрица скалярных произведений G также единичная.

Вот в этом и ошибка.

Рассмотрим пример трехмерного пространства полиномов. Пусть базисные векторы $\mathbf e_0, \mathbf e_1, \mathbf e_2$ соответствуют полиномам $t^0, t^2, t^4$ (это уже не индексы, а степени, $t^0=1$).

Найдем скалярное произведение базисных векторов $\mathbf e_0=(1, 0, 0)$ и $\mathbf e_1=(0, 1, 0)$... Нет, не найдем. Мы не можем его найти без дополнительной внешней информации. Скалярное произведение не задано, и утверждение, будто эти векторы ортогональны, ни на чем не основано.

Теперь дается правило: скалярное произведение полиномов $p(t)$ и $q(t)$ равно $\int\limits_0^1 p(t) q(t) dt$. Это сразу дает возможность найти

$$G=\begin{bmatrix}(\mathbf e_0, \mathbf e_0)&(\mathbf e_0, \mathbf e_1)&(\mathbf e_0, \mathbf e_2)\\(\mathbf e_1, \mathbf e_0)&(\mathbf e_1, \mathbf e_1)&(\mathbf e_1, \mathbf e_2)\\(\mathbf e_2, \mathbf e_0)&(\mathbf e_2, \mathbf e_1)&(\mathbf e_2, \mathbf e_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\frac 1 3&\frac 1 5\\\frac 1 3&\frac 1 5&\frac 1 7\\\frac 1 5&\frac 1 7&\frac 1 9\end{bmatrix}$$

Эта матрица, и подаётся, так сказать, на вход процесса Грама-Шмидта.

philosof8848 в сообщении #814620 писал(а):

Я не могу понять: если необязательно, скажем так, направление хотя бы одного из векторов ортонормированного базиса должно совпадать с направлением вектора из базиса В, то почему нельзя просто взять канонический базис?

Ну, а каким будет этот базис в моем примере с полиномами?

[philosof8848]

svv, наконец-то до меня "дошло". Благодарю за объяснения.

[svv]

Пожалуйста, рад был помочь.

[philosof8848]

Что касается координат векторов базиса заданного Вами линейного пространства, то, судя по моим вычислениям,
$\mathbf g_1, \mathbf g_2, \mathbf g_3$ соответственно равны
(1, 0, 0)
$2\sqrt_2$/$\sqrt_105$(-1/3, 1, 0)
$1/\sqrt_5$(6/21, -6/7, 1)