Для простоты я буду считать (как и Вы), что система векторов

, из которой надо построить ортонормированную систему, образует базис линейного пространства.
svv, а зачем что-либо делать дальше?
Это означает, что Вы думаете, что такая система векторов уже ортонормирована.
Но это не так (в общем случае). Она была бы таковой, если бы скалярное произведение в базисе

тоже задавалось единичной матрицей:

В таком случае и не нужен был бы процесс Грама-Шмидта, система

есть уже то, что нужно.
А в общем случае

Матрица

определяет в базисе

скалярное произведение. Каждый её элемент

— это скалярное произведение

и

. Матрица

не диагональная

базис не ортогональный. И работа только начинается. И это при том, что матрица, о которой Вы говорили, здесь уже единичная.
Весь процесс Грама-Шмидта опирается на эти скалярные произведения

.
при "ортонормировании" базиса должен остаться хотя бы один нормированный вектор заданного базиса, так?
Такого требования нет. В процессе Грама-Шмидта так и получается с первым вектором. Но это просто особенность процедуры, это условие не обязательно.