Страх перед нулём и единицей

[temp03]

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}{\tg x^{tg2x}}}=1^{\frac10}=?$

[Urnwestek]

temp03 в сообщении #814187 писал(а):

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}{\tg x^{tg2x}}}=1^{\frac10}=?$

Казалось бы, а причём тут это? А не причём тут это.

[arseniiv]

patzer2097 в сообщении #814038 писал(а):

может быть, но этого же сказать о записи $\sum \emptyset = 0$ нельзя и в этом случае.

Как нельзя? Я же прямым текстом написал. Тут операция $+$ каких-то там чисел, но любая так обозначаемая операция над любыми вещами, которые принято называть числами имеет нейтральный элемент 0. И даже почти все кем-либо рассматриваемые другие операции, обозначаемые $+$, имеют нейтральный элемент. Это же традиция — если сложение, то коммутативно, ассоциативно и с ноликом. Так что $\sum\varnothing = 0$.

-- Вт янв 14, 2014 18:30:27 --

Если обозначения допускают такое единственное расширение их смысла, которое не противоречит ничему остальному, оставаться с нерасширенными обозначениями просто бездумно. Давайте откажемся, например, от $\frac{d^n}{dx^n}f$ — что за степени в неположенном месте? Давайте писать

$$\text{производная}(f,\underbrace{x,\ldots,x}_{n\text{ штук}})\text{!}$$

[patzer2097]

Urnwestek в сообщении #814164 писал(а):

Ну, такие символы для «сумма пустого множества» и «произведение пустого множества», как использовал я вполне логичны, по аналогии с символовом $\bigcup X$ используемом в теории множеств.

arseniiv в сообщении #814298 писал(а):

Так что $\sum\varnothing = 0$.

понимаете ли, если мы пишем $A+B$ (где $A$ и $B$ - множества), то должны иметь в виду множество всех сумм $a+b$, где $a\in A$ и $b\in B$. (Я надеюсь, это не вызывает сомнений.) Поэтому, если мы уж хотим придать какой-то смысл Вашей записи, то мы должны писать $\sum\varnothing=\varnothing$, а не $\sum\varnothing=0$.

Кстати, любители жонглировать математическими обозначениями получают новые источники вдохновения, смотрите: $\varnothing\cdot\varnothing=\varnothing$, откуда $\varnothing\cdot\varnothing\cdot\varnothing^{-1}=\varnothing\cdot\varnothing^{-1}$, и, наконец $\varnothing=1$. Но я думаю, здесь это оффтоп, предлагаю обсудить это в новой теме.

[Urnwestek]

patzer2097 в сообщении #814398 писал(а):

онимаете ли, если мы пишем $A+B$ (где $A$ и $B$ - множества), то должны иметь в виду множество всех сумм $a+b$

Не должны.

patzer2097 в сообщении #814398 писал(а):

Поэтому, если мы уж хотим придать какой-то смысл Вашей записи, то

Не «то».

А вообще спорить об обозначениях глупо.

[arseniiv]

patzer2097 в сообщении #814398 писал(а):

понимаете ли, если мы пишем $A+B$ (где $A$ и $B$ - множества), то должны иметь в виду множество всех сумм $a+b$, где $a\in A$ и $b\in B$. (Я надеюсь, это не вызывает сомнений.) Поэтому, если мы уж хотим придать какой-то смысл Вашей записи, то мы должны писать $\sum\varnothing=\varnothing$, а не $\sum\varnothing=0$.

Совершенно не важно, определена ли и как сумма двух множеств.

Пускай есть ассоциативная коммутативная операция $\oplus\colon A^2\to A$. Тогда естественным образом возникает функция $\bigoplus\colon \{B\in 2^A : 0<|B|<\omega\}\to A$ (из множества конечных непустых подмножеств $A$ в $A$), которая должна удовлетворять следующим свойствам:
(1) $\bigoplus\{a\} = a$,
(2) $A\cap B=\varnothing\Rightarrow\bigoplus(A\cup B) = (\bigoplus A) \oplus(\bigoplus B)$.
При этом вводится запись $\bigoplus_{i\in I} a_i \equiv \bigoplus\{a_i\in A : i\in I\}$.

Если у $\oplus$ есть нейтральный элемент $e_\oplus$, то $\bigoplus$ с сохранением (1) и (2) доопределяется на пустом множестве как
(1′) $\bigoplus\varnothing = e_\oplus$,
при этом можно заменить (1) на (1′).

Потом для корректности записи $\bigoplus_{i\in I} a_i$ следует всё-таки ввести операцию $\bigoplus$ и для мультимножеств.

Так вот не путайте $\oplus$ и $\bigoplus$ (в конкретном случае, $+$ и $\sum$) — это разные вещи. Как видите, никакую новую бинарную операцию на множествах вводить не пришлось.

[patzer2097]

Urnwestek в сообщении #814402 писал(а):

patzer2097 в сообщении #814398 писал(а):

онимаете ли, если мы пишем $A+B$ (где $A$ и $B$ - множества), то должны иметь в виду множество всех сумм $a+b$

Не должны.

я Вам привел общепринятое определение

Urnwestek в сообщении #814402 писал(а):

patzer2097 в сообщении #814398 писал(а):

Поэтому, если мы уж хотим придать какой-то смысл Вашей записи, то

Не «то».

понятно, то есть Вы просто написали непонятное предложение, смысла в нем не было и искать его было не нужно. Сразу бы сказали...

Urnwestek в сообщении #814402 писал(а):

А вообще спорить об обозначениях глупо.

Это сообщение отправил пользователь, который спорит об обозначениях в специально созданной для этого теме. Созданной им самим.

[Urnwestek]

patzer2097 в сообщении #814441 писал(а):

я Вам привел общепринятое определение

У вас что, какой-то каталог общепринятых определений завалялся? Или вы нашли в каком-то одном учебнике какое-то узкоспецифическое определение и назвали это «общепринятым»? Ну а я вот всегда когда вижу «$A+B$» читаю как «$A \cup B$» потому что подмножества множества $X$ образуют коммутативное кольцо с единицей относительно операция $A \cup B$ (сложение) и $A \cap B$ (умножение), а значки $+, \cdot$ общепринятые обозначения сложения и умножения в кольце; хотите ссылку на учебник приведу?

patzer2097 в сообщении #814441 писал(а):

понятно

Понятно, что вам всё понятно. Сразу бы сказали...

patzer2097 в сообщении #814441 писал(а):

Это сообщение отправил пользователь, который спорит об обозначениях в специально созданной для этого теме. Созданной им самим.

Если бы вы повнимательнее прочитали эту самую тему этого самого пользователя, то, вероятно бы, заметили, что пользователя и смутило, что некто, подобно вам, высказывается ультимативно о том, какие обозначения следует считать верными, а какие — нет; оттого и пользователь решил спросить людей, которые в математике что-то смыслят, кто же знал, что полезут и другие...

[patzer2097]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #814408 писал(а):

Совершенно не важно, определена ли и как сумма двух множеств.

Пускай есть ассоциативная коммутативная операция $\oplus\colon A^2\to A$. Тогда естественным образом возникает функция $\bigoplus\colon \{B\in 2^A : 0<|B|<\omega\}\to A$ (из множества конечных непустых подмножеств $A$ в $A$), которая должна удовлетворять следующим свойствам:
(1) $\bigoplus\{a\} = a$,
(2) $A\cap B=\varnothing\Rightarrow\bigoplus(A\cup B) = (\bigoplus A) \oplus(\bigoplus B)$.
При этом вводится запись $\bigoplus_{i\in I} a_i \equiv \bigoplus\{a_i\in A : i\in I\}$.

Если у $\oplus$ есть нейтральный элемент $e_\oplus$, то $\bigoplus$ с сохранением (1) и (2) доопределяется на пустом множестве как
(1′) $\bigoplus\varnothing = e_\oplus$,
при этом можно заменить (1) на (1′).

Потом для корректности записи $\bigoplus_{i\in I} a_i$ следует всё-таки ввести операцию $\bigoplus$ и для мультимножеств.

Так вот не путайте $\oplus$ и $\bigoplus$ (в конкретном случае, $+$ и $\sum$) — это разные вещи. Как видите, никакую новую бинарную операцию на множествах вводить не пришлось.

это Вы сами придумали? мне особенно понравилось про мультимножества А общепринятые обозначения для $A+B$ и $\sum_iA_i$ описаны здесь и здесь.

-- Вт янв 14, 2014 21:36:06 --

(Urnwestek)

Urnwestek в сообщении #814451 писал(а):

patzer2097 в сообщении #814441 писал(а):

я Вам привел общепринятое определение

У вас что, какой-то каталог общепринятых определений завалялся? Или вы нашли в каком-то одном учебнике какое-то узкоспецифическое определение и назвали это «общепринятым»? Ну а я вот всегда когда вижу «$A+B$» читаю как «$A \cup B$»

в том, что эти определения более или менее общеприняты, можно убедиться здесь и здесь (и по ссылкам из этих статей, если их Вам мало). Сомневаюсь, что в какой-либо серьезной литературе $A+B$ понимают как $A\setminus B$, $A\cap B$ или так, как Вы предлагаете.

Urnwestek в сообщении #814451 писал(а):

подмножества множества $X$ образуют коммутативное кольцо с единицей относительно операция $A \cup B$ (сложение) и $A \cap B$ (умножение)

пишите еще

Urnwestek в сообщении #814451 писал(а):

некто, подобно вам, высказывается ультимативно о том, какие обозначения следует считать верными, а какие — нет

ну я в первом сообщении написал, что записи типа $\sum_\varnothing\mathrm{something}=0$ вполне общеприняты, а $0^0=1$ - все-таки нет.. Но это так и есть, хотя доопределить можно что угодно и как угодно

Urnwestek в сообщении #814451 писал(а):

оттого и пользователь решил спросить людей, которые в математике что-то смыслят

так я Вам и объясняю, а Вы мне в ответ зачем-то про свое альтернативное понимание понятия кольца начинаете рассказывать..

[Urnwestek]

patzer2097 в сообщении #814453 писал(а):

это Вы сами придумали? мне особенно понравилось про мультимножества А общепринятые обозначения для $A+B$ и $\sum_iA_i$ описаны здесь
и здесь
.

Ну прекрасно. Если для вас вики — авторитет, то я вот тут увидел другое определение значку $A+B$. Что делать будем?

Про $\sum_i A_i$ вообще не к месту. Понятное дело, что сумма по индексу обозначается именно так. А вы приведите пример обозначения просто $\sum A$, где $A$ — некоторое множество вещественных чисел.

-- 14.01.2014, 20:48 --

patzer2097 в сообщении #814453 писал(а):

пишите еще

За меня всё давно написали Винберг и Ленг. Почитайте их на досуге.

patzer2097 в сообщении #814453 писал(а):

ну я в первом сообщении написал, что записи типа $\sum_\varnothing\mathrm{something}=0$ вполне общеприняты

Мало ли что вы написали. Вот кстати $\sum\limits_A \operatorname{expr}(x) $ никто не пишет. Пишут $\sum\limits_{x \in A} \operatorname{expr}(x)$.

Цитата:

так я Вам и объясняю, а Вы мне в ответ зачем-то про свое альтернативное понимание понятия кольца начинаете рассказывать..

Я же написал «людей, которые в математике что-то смыслят», причём тут вы?

[patzer2097]

(Urnwestek)

Urnwestek в сообщении #814458 писал(а):

Если для вас вики — авторитет

специально для Вас я в прошлом посте пояснил, что стоит обратить внимание на источники, на которые ссылается та или иная вики-статья, ведь только они могут быть достоверны

Urnwestek в сообщении #814458 писал(а):

Вот кстати $\sum\limits_A \operatorname{expr}(x) $ никто не пишет. Пишут $\sum\limits_{x \in A} \operatorname{expr}(x)$

это Вам только так кажется. если множество, которое пробегает индекс суммирования, понятно из контекста, то его часто можно опустить

Urnwestek в сообщении #814458 писал(а):

Я же написал «людей, которые в математике что-то смыслят», причём тут вы?

Да уж. Пользователь, выдающий перлы вроде

Urnwestek в сообщении #814402 писал(а):

А вообще спорить об обозначениях глупо.

Urnwestek в сообщении #814451 писал(а):

потому что подмножества множества $X$ образуют коммутативное кольцо с единицей относительно операция $A \cup B$ (сложение) и $A \cap B$ (умножение)

создает тему для споров об обозначениях и считает себя вправе судить о моих математических способностях.. Сегодня 14 января 2014 года, московское время 23 часа 14 минут. Весеннее обострение объявляется открытым!

[provincialka]

Urnwestek, patzer2097, не ругайтесь! Вы оба вполне приличные математики, не стоит ссориться по мелочам.

[Urnwestek]

Знаете. Я специально для вас сейчас хотел открыть пару учебников по теории множеств и поискать оговорку — дескать объеденение множеств может ещё обозначаться вот так-то. Но не буду, потому что после:

patzer2097 в сообщении #814481 писал(а):

:evil: Да уж. Пользователь, выдающий перлы вроде

Urnwestek в Да уж. Пользователь, выдающий перлы вроде[quote="Urnwestek в сообщении #814451 писал(а):

потому что подмножества множества $X$ образуют коммутативное кольцо с единицей относительно операция $A \cup B$ (сложение) и $A \cap B$ (умножение)

Мне вы видны как на ладони (а уж людям знающим побольше меня — тем более). А именно тот факт, что первые пару лекций общеуниверситетского курса алгебры вы не осилили, вбили в вики слово «кольцо» и там оно выдало определение «дельта/сигма кольца множеств», а вовсе не «коммутативного кольца с единицей», вы, завидев различие в значках: увидев «чашечку» вместо «треугольничка», сразу же побежали высмеивать меня, но на вашем уровне, увы, ещё не понять, что высмеяли вы лишь себя.
Пожалуй, я вас заигнорю; можете считать, что я «слился».

[Xaositect]

Urnwestek
Ну тут Вы действительно дали маху. Подмножества относительно $\cup$ и $\cap$ образуют дистрибутивную решетку, а не коммутативное кольцо с единицей :)

-- Вт янв 14, 2014 23:51:01 --

patzer2097 в сообщении #814481 писал(а):

это Вам только так кажется. если множество, которое пробегает индекс суммирования, понятно из контекста, то его часто можно опустить

Множество можно опустить, а вот индекс опускать нехорошо - свободные и связанные переменные путаются.

[patzer2097]

Urnwestek в сообщении #814501 писал(а):

первые пару лекций общеуниверситетского курса алгебры вы не осилили

угу, тут Вы правы. и таких как я, знаете как много? ради этого на некоторые кафедры каждый год принимают на 1/4 ставки специальных людей, чтобы они читали первые две лекции. а такие как я уже продолжают с третьей...