Задача, приводящая к диф. ур-ю

[FFMiKN]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Имеется задача:
Пусть с некоторой высоты падает тело массой $m$. Определить по какому закону будет изменяться скорость $v$ падения этого тела, если на него кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха пропорциональная $v$ с коэффициентом пропорциональности $k$.
То есть нам надо найти $v(t)$.
Я поступаю следующим образом:
$mg-kv=m\frac{dv}{dt}$
Дальше я делю все на $m$ и получаю $\frac{dv}{dt}=g-\frac{kv}{m}$.
Теперь, я полагаю, необходимо разделить переменные: $dt=\frac{dv}{g-\frac{kv}{m}}$.
Дальше мне интересно, правильно ли я делаю? Дальше нужно проинтегрировать, получить выражение для времени и выразить из него скорость? д

[svv]

Да, всё правильно.

Когда Вы получите скорость, можете подставить её в дифференциальное уравнение $mg-kv=m\frac{dv}{dt}$, чтобы убедиться, что она ему удовлетворяет. И второе, что надо проверить — что найденная функция $v(t)$ для $t=0$ дает $0$.

Из уравнения можно догадаться (положив $\frac{dv}{dt}=0$), что при $t\to\infty$ скорость должна стремиться к $\frac{mg}{k}$. Можно ещё проверить, что для найденной $v(t)$ это так и есть.

[FFMiKN]

svv

Спасибо за помощь!

[svv]

svv в сообщении #813448 писал(а):

И второе, что надо проверить — что найденная функция $v(t)$ для $t=0$ дает $0$.

Тут я не совсем хорошо написал. Этого надо сначала потребовать при выборе произвольной постоянной (так как уравнение не может и не обязано догадываться, что момент начала падения мы хотим считать нулевым). А потом уже проверять, что так и есть: $v(0)=0$.