Теорема Гершгорина

[Nexus0603]

Всем привет. Мне надо оценить число обусловленности матрицы.
$\mu = \lVert{A}\rVert \cdot \lVert{A^{-1}}\rVert$
Известно, что:
$\mu =\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)}$
где $\lambda$ - собственное число.
Необходимо оценить собственные числа с помощью теоремы Гершгорина.
Теорема Гершгорина говорит, что для произвольного собственного значения $\lambda$ матрицы $A$ найдётся такое $1\le i\le n$, что
$|\lambda-a_{ii}|\le\sum\limits_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n|a_{ij}|$ (Самое простое определение, которое нашел. Взято на этом форуме).
Теперь пример:
$\qquad \begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 3 & 0 & 10 \\ 2 & 5 & -1 \end{bmatrix}$
Получаю, что
$\lvert{\lambda_1 - 1}\rvert \leq 8$

$\lvert{\lambda_2}\rvert \leq 13$

$\lvert{\lambda_3 + 1}\rvert \leq 7$

Теперь собственно затруднение. Какие значения $\lambda$ взять?

[ewert]

Nexus0603 в сообщении #813262 писал(а):

$\mu = \lVert{A}\rVert \cdot \lVert{A^{-1}}\rVert$
Известно, что:
$\mu =\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)}$

Вообще-то не известно. Уж для Вашего примера во всяком случае.

[Nexus0603]

ewert
Хм...
1)Неизвестно, это потому что матрица не положительно определенна?

А если она будет положительно определенна, то и все собственные значения положительны.

2)Но все же если пользоваться теоремой Гершгорина, то получается надо выбирать только положительные значения, а из них уже максимальное и минимальное?

[ewert]

Nexus0603 в сообщении #813288 писал(а):

1)Неизвестно, это потому что матрица не положительно определенна?

Хуже того: она даже не симметрична (только в этом случае нормы были бы вообще хоть как-то связаны с собственными числами; ну или если бы она была хотя бы нормальна).

[Nexus0603]

ewert
Хорошо) Это я понял). А второй мой вопрос - можно его считать риторическим?=) При условии что матрица симметрична и положительно определенна? И в неравенстве $|\lambda-a_{ii}|\le\sum\limits_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n|a_{ij}|$ нужно выбирать только максимальное $\lambda$?

[TOTAL]

С помощью теоремы Гершгорина найдите, где вообще могут находиться собственные числа.