2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема Гершгорина
Сообщение12.01.2014, 11:11 
Всем привет. Мне надо оценить число обусловленности матрицы.
$\mu = \lVert{A}\rVert \cdot \lVert{A^{-1}}\rVert$
Известно, что:
$\mu =\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)}$
где $\lambda$ - собственное число.
Необходимо оценить собственные числа с помощью теоремы Гершгорина.
Теорема Гершгорина говорит, что для произвольного собственного значения $\lambda$ матрицы $A$ найдётся такое $1\le i\le n$, что
$|\lambda-a_{ii}|\le\sum\limits_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n|a_{ij}|$ (Самое простое определение, которое нашел. Взято на этом форуме).
Теперь пример:
$\qquad
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 6 \\
3 & 0 & 10 \\
2 & 5 & -1 
\end{bmatrix}$
Получаю, что
$\lvert{\lambda_1 - 1}\rvert \leq 8$

$\lvert{\lambda_2}\rvert \leq 13$

$\lvert{\lambda_3 + 1}\rvert \leq 7$

Теперь собственно затруднение. Какие значения $\lambda$ взять?

 
 
 
 Re: Теорема Гершгорина
Сообщение12.01.2014, 11:46 
Nexus0603 в сообщении #813262 писал(а):
$\mu = \lVert{A}\rVert \cdot \lVert{A^{-1}}\rVert$
Известно, что:
$\mu =\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)}$

Вообще-то не известно. Уж для Вашего примера во всяком случае.

 
 
 
 Re: Теорема Гершгорина
Сообщение12.01.2014, 12:20 
ewert
Хм...
1)Неизвестно, это потому что матрица не положительно определенна?

А если она будет положительно определенна, то и все собственные значения положительны.

2)Но все же если пользоваться теоремой Гершгорина, то получается надо выбирать только положительные значения, а из них уже максимальное и минимальное?

 
 
 
 Re: Теорема Гершгорина
Сообщение12.01.2014, 14:00 
Nexus0603 в сообщении #813288 писал(а):
1)Неизвестно, это потому что матрица не положительно определенна?

Хуже того: она даже не симметрична (только в этом случае нормы были бы вообще хоть как-то связаны с собственными числами; ну или если бы она была хотя бы нормальна).

 
 
 
 Re: Теорема Гершгорина
Сообщение12.01.2014, 14:11 
ewert
Хорошо) Это я понял). А второй мой вопрос - можно его считать риторическим?=) При условии что матрица симметрична и положительно определенна? И в неравенстве $|\lambda-a_{ii}|\le\sum\limits_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n|a_{ij}|$ нужно выбирать только максимальное $\lambda$?

 
 
 
 Re: Теорема Гершгорина
Сообщение13.01.2014, 08:41 
Аватара пользователя
С помощью теоремы Гершгорина найдите, где вообще могут находиться собственные числа.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group