2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение08.10.2007, 22:12 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Докажите, что для неотрицательных $a,$ $b$ и $c,$
никакие два из которых не равны нулю, выполняется следующее неравенство:
$\frac{a+b}{\sqrt{c^2+3ab}}+\frac{a+c}{\sqrt{b^2+3ac}}+\frac{b+c}{\sqrt{a^2+3bc}}\geq3.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 12:06 


02/10/07
76
Томск
предположим что наименьшее значение левая часть принимает для каких то конкретных a b c
в виду симметрии это же значение мы должны получить все возможными перестановками b a c, c a b и т д следовательно левая часть достигает наименьшего значения при a=b=c и это значение равно 3
ч. и. т. д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 12:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Hymilev писал(а):
предположим что наименьшее значение левая часть принимает для каких то конкретных a b c
в виду симметрии это же значение мы должны получить все возможными перестановками b a c, c a b и т д следовательно левая часть достигает наибольшего значения при a=b=c и это значение равно 3
ч. и. т. д.

Не верное рассуждение. Это говорит только, что множество экстремумов инвариантно относительно симметричной группы S3. Задачи, когда это множество отличалось от инвариантных точек (a=b=c) здесь уже встречались.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 01:51 


05/02/06
9
Минск
Да просто два раза дифф. соответствующая функция от 3 переменных и показывается, что минимума достигает в 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 10:57 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
Alex_L писал(а):
Да просто два раза дифф. соответствующая функция от 3 переменных и показывается, что минимума достигает в 3.


Шутите? Или пробовали?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2011, 12:29 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Займусь археологией)
Так как неравенство однородное, сделаем так, чтобы $a+b+c=1$.
И разделим его на 2.
$$\frac{a+b}{2\sqrt{c^2+3ab}}+\frac{a+c}{2\sqrt{b^2+3ac}}+\frac{b+c}{2\sqrt{a^2+3bc}}\geq \frac32.$$
Теперь воспользуемся Йенсеном для $f(x)=\frac1x$
$$\frac{a+b}{2\sqrt{c^2+3ab}}+\frac{a+c}{2\sqrt{b^2+3ac}}+\frac{b+c}{2\sqrt{a^2+3bc}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\frac{4}{9}(a+b+c)^3}}=\frac32 $$

Блин, я походу не верный переход сделал ((
$$2(a+b+c)^3 \geq 9(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group