Неравенство

[arqady]

Докажите, что для неотрицательных $a,$ $b$ и $c,$
никакие два из которых не равны нулю, выполняется следующее неравенство:
$\frac{a+b}{\sqrt{c^2+3ab}}+\frac{a+c}{\sqrt{b^2+3ac}}+\frac{b+c}{\sqrt{a^2+3bc}}\geq3.$

[Hymilev]

предположим что наименьшее значение левая часть принимает для каких то конкретных a b c
в виду симметрии это же значение мы должны получить все возможными перестановками b a c, c a b и т д следовательно левая часть достигает наименьшего значения при a=b=c и это значение равно 3
ч. и. т. д.

[Руст]

Hymilev писал(а):

предположим что наименьшее значение левая часть принимает для каких то конкретных a b c
в виду симметрии это же значение мы должны получить все возможными перестановками b a c, c a b и т д следовательно левая часть достигает наибольшего значения при a=b=c и это значение равно 3
ч. и. т. д.

Не верное рассуждение. Это говорит только, что множество экстремумов инвариантно относительно симметричной группы S3. Задачи, когда это множество отличалось от инвариантных точек (a=b=c) здесь уже встречались.

[Alex_L]

Да просто два раза дифф. соответствующая функция от 3 переменных и показывается, что минимума достигает в 3.

[Macavity]

Alex_L писал(а):

Да просто два раза дифф. соответствующая функция от 3 переменных и показывается, что минимума достигает в 3.

Шутите? Или пробовали?

[MrDindows]

Займусь археологией)
Так как неравенство однородное, сделаем так, чтобы $a+b+c=1$.
И разделим его на 2.

$$\frac{a+b}{2\sqrt{c^2+3ab}}+\frac{a+c}{2\sqrt{b^2+3ac}}+\frac{b+c}{2\sqrt{a^2+3bc}}\geq \frac32.$$

Теперь воспользуемся Йенсеном для $f(x)=\frac1x$

$$\frac{a+b}{2\sqrt{c^2+3ab}}+\frac{a+c}{2\sqrt{b^2+3ac}}+\frac{b+c}{2\sqrt{a^2+3bc}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\frac{4}{9}(a+b+c)^3}}=\frac32 $$

Блин, я походу не верный переход сделал ((

$$2(a+b+c)^3 \geq 9(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)$$