Дискретная математика(соответствия)

[MestnyBomzh]

Добрый вечер!Помогите пожалуйста с такой задачей:
Множество $A$ содержит $n$ элементов, а множество $B$ содержит $5n$ элементов. Известно, что $A\cap B =\varnothing $. Сколько существует инъективных всюду определённых функций между $A \times A$ и $A \cup B$ (ответ зависит от $n$)?
Я рассуждал так: Декартово произведение даст нам $n^2$ элементов, а объединение $A$ и $B$ $6n$ элементов. Значит нужно узнать количество инъективных всюду определённых функций, задающих соответствие из $n^2$ в $6n$ элементов (кстати, $n \leq 6$, так как при больших $n$ пропадёт инъекция из-за всюду определённости) Теперь вопрос: как посчитать количество таких функций?Спасибо!

[gris]

Образ функции состоит из $n^2$ элементов.
Возьмём наименьший случай 36 элементов. Сколько там разных функций?
При $n<6$ вначале подсчитаем образы.
Главное в этих задачах — ничего не пропустить и ничего не повторить.

[MestnyBomzh]

gris
Подождите, а почему образ функции состоит из $n^2$ элементов? Разве не из $6n$?
Но даже если так, то при наименьшем значении - $36$ функция, как я понимаю будет только одна, причем это будет биекция.

[gris]

Функция (отображение) она не "между", а "из в". Я так понял, что из квадрата в объединение.
Вы сказали, что функция всюду определена и инъективна. То есть прообразом является либо квадрат, либо объединение. Ну можно, конечно, сказать, что при $n>6$ у нас отображение из объединения в квадрат.
Но количество биекций между равными по числу элементов множествами во много раз больше одной.

[MestnyBomzh]

Так я и имел в виду отображение из квадрата в объединение. $\left | A\times A \right |=n^2$, а $\left | A \cup B \right |=6n$. При $n>6$ выполнено: $\left | A\times A \right | > \left | A \cup B \right |$ . Но так как функция всюду определенная, то для каждого из $n^2$ должен найтись элемент из $6n$, но будет нарушена инъекция из-за условия $n^2>6n$
Почему же тогда мы рассматриваем всё наоборот: для $n>6$?

[gris]

Да, это я немного ошибся Знак в другую сторону. Просто меня Ваше "между" смутило. А под образом я понимал множество значений.
Но это не меняет сути. Возьмём $n=1$. Получим отображение из множества с одним элементом во множество с шестью. Сколько их? Шесть.
Возьмём $n=2$. Получим отображение из множества с 4 элементами во множество с 12. Сколько их? В принципе можно просто рассмотреть число упорядоченных массивов из 4-х элементов в объединении, то есть во множестве их 12 элементов.
Вообще 4 разных элемента в 4 разных сколькими способами можно биективно отобразить?

[provincialka]

Разве ответом будет не число размещений?

[MestnyBomzh]

gris задание я скопировал, так что вопрос с "между" к автору:)
Про $n=1$: разве мы не можем в соответствие единственному элементу из квадрата поставить в соответствие два элемента из объединения? или три, четыре, пять, шесть? Ведь при этом инъекция и однозначность не теряется

[provincialka]

Одновременно два? Тогда в чем же однозначность?

[MestnyBomzh]

provincialka, но ведь в задаче говорится только об инъективности и всюду определенности

[Someone]

А что такое функция?

MestnyBomzh в сообщении #812609 писал(а):

функций

[MestnyBomzh]

Someone, да, точно... вы правы, спасибо

-- 11.01.2014, 01:56 --

Итого получается: $n!C^n_6$?

[iifat]

Брррр... И как у вас вот такое получилось?
Имхо, забудьте про ваши странные множества. Есть $A$ мощности $m$; есть $B$ мощности $n$; $m\le n$; сколько есть инъективных функций?

[MestnyBomzh]

iifat, погуглил, вот нашел такой же результат http://window.edu.ru/resource/014/24014 ... mbgrap.pdf в конце 7 страницы. У меня просто нужно было упростить, чего я не сделал.

[provincialka]

MestnyBomzh, ссылку не смотрела, неохота скачивать что попало. Вы просто посмотрите на обозначения. В исходном множестве (области определения) $k=n^2$ элементов, в области значений - $m=6n$. Не кажется ли вам, что ответ должен выражаться через $m$ и $k$, а не через $6$ и $n$?