Right angles and equal segments

[ins-]

In the right-angled triangle $ABC$ ($AC<BC$) with hypothenuse $AB$ is constructed a circle through $A$ and $B$, tangent to $AC$ at the point $A$ and intersecting $BC$ at the point $P$. $M$ and $N$ are the feets of perpendiculars through $C$ and $P$ to $AB$. Prove that $AM=MN$.

[Oleg Zubelevich]

just introduce a coordinate system with origin at the point C and with axes passing through $CA,CB$.
Then problem is solved by boring transformations of the formulas

[gris]

В задаче обилие подобных треугольников. А окружность можно использовать исключительно для равенства $AC^2=CB\cdot CP$. Отсюда выползает требуемое равенство. Процесс по нудности сопоставим с рекомендованным <c>выше.
Обожающему именно школьную геометрию можно внимательнее присмотреться к чертежу и попробовать сделать всё изящно и просто.

А что если угол $C$ не прямой?

[nnosipov]

gris в сообщении #811494 писал(а):

А что если угол $C$ не прямой?

Если угол $C$ не прямой, но вдруг оказалось, что $|AM|=|MN|$, то тогда $N=B$ или $N=A$. Алгебраически это очевидно. А геометрически?

[TOTAL]

gris в сообщении #811494 писал(а):

Процесс по нудности сопоставим с рекомендованным <c>выше.

$AM=AC \cdot \sin B$
$MN=CP \cdot \cos B = AC \cdot \tg B \cdot \cos B$

Чего тут нудного?

[gris]

Ну да. Дуга $AP$ сразу определяет равенство углов $\angle ACP=\angle B$.
Я просто попытался поиграть геометрическим и алгебраическим подходами. Некоторые вещи бросаются в глаза на чертеже и сразу следуют из пары теорем из заученного набора. Но часто изящный приём срабатывает только в данном, конкретном случае. Стоит немного пошевелить условие или вопрос, как приходится искать новый трюк. Либо обращаться к тяжеловесному, но универсальному средству. Зато некоторые утверждения очевидны при аналитическом методе, а на чертеже, вернее, в облаке теорем, даже не видны.
Впрочем, об этом уже много говорилось на форуме. Стоит ли школьникам пять лет учиться методам, которые дальше не применяются нигде. Ни в практической жизни, ни высшей школе. Вот только ради красоты и изящества Олимпиадные задачи разве не только для этого предположены?

[ins-]

If <C is not right - AM is not equal to MN. The problem is very easy and it have many solutions - with similarities for example or another approach - additional constructions and inscribed angles. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... BOL2.shtml this was my source of inspiration to create the problem. As well as an older All-Russian MO problem.

[nnosipov]

ins- в сообщении #812255 писал(а):

If <C is not right - AM is not equal to MN.

Ну, да, конечно. Рассмотрите на комплексной плоскости треугольник $ABC$ с вершинами $C=1$, $A=1/\sqrt{2}+i/\sqrt{2}$, $B=-1/\sqrt{2}+i/\sqrt{2}$. Здесь прекрасно $|AM|=|MN|$ (потому что $N=A$). Что не так? Ещё раз:

nnosipov в сообщении #811542 писал(а):

Если угол $C$ не прямой, но вдруг оказалось, что $|AM|=|MN|$, то тогда $N=B$ или $N=A$.

Докажите это утверждение геометрически.

[ins-]

Please, excuse me for misunderstoonding.

[nnosipov]

Окей, нет проблем.