Когда обратим слабый предел последовательности операторов

[popolznev]

Такое утверждение: если непрерывные операторы $A_n: X \rightarrow Y$ ($X, Y$ --- банаховы) слабо сходятся к непрерывному же $A: X \rightarrow Y$, то для его обратимости необходимо и достаточно выполнение двух одновременно условий: 1) все $A_n$, начиная с некоторого номера, обратимы, и 2) обратные $A_n^{-1}$ равномерно ограничены.

Как же его доказать-то.

Достаточность. Возьмем $y \in Y$. Как построить $A^{-1}y$? Определена последовательность $x_n = A_n^{-1}y$. Понятно, что она ограничена. И... э...

А ещё ж необходимость. С ней-то что делать.

[Oleg Zubelevich]

рассмотрите операторы $AA_n^{-1},A_n^{-1}A$

popolznev в сообщении #811606 писал(а):

слабо сходятся

наверное имеется в виду поточечная сходимость

[popolznev]

Oleg Zubelevich в сообщении #811641 писал(а):

наверное имеется в виду поточечная сходимость

Да вот у меня сказано - слабо, понимаете ли.

-- 09.01.2014, 01:56 --

Речь идет о слабой операторной сходимости: $\forall x \in X \ A_nx \rightharpoonup Ax$.

[sup]

Тут что-то не так. Пусть у нас $X$ - сепарабельное гильбертово пространство. Вроде бы не трудно построить последовательность изометрий $A_n$, слабо сходящуюся к 0. Именно что $\forall x \in X \ A_nx \rightharpoonup 0$.

[popolznev]

sup в сообщении #811694 писал(а):

Тут что-то не так. Пусть у нас $X$ - сепарабельное гильбертово пространство. Вроде бы не трудно построить последовательность изометрий $A_n$, слабо сходящуюся к 0. Именно что $\forall x \in X \ A_nx \rightharpoonup 0$.

Спасибо, попробую построить этот контрпримерчик.

[popolznev]

Эге. Вот так, наверное — в $l_2$.

$A_ne_k = \left\{\begin{array}{rl} e_n, & \ k=1,\\ e_{k-1}, & \ 2 \le k \le n,\\ e_k, & \ k \ge n+1. \end{array}\right.$

$A_n$ слабо сходятся к необратимому сдвигу влево, который съедает первую координату.

Контрпример, сталбыть.

[sup]

Можно и так. А можно прямо к 0. Для этого достаточно координаты с малыми номерами "задвинуть" подальше.
Например, $A_n$ первые $n$ координат записывает в обратном порядке. Для примера,
$A_4: (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \dots) \to (x_4,x_3,x_2,x_1,x_5 \dots)$

[popolznev]

Ну, понятно, что координаты надо перемешивать, но я старался попроще. Спасибо за подсказ!

[Oleg Zubelevich]

можно и проще. двусторонние последовательности возьмите и оператор сдвига

[popolznev]

Oleg Zubelevich в сообщении #811766 писал(а):

можно и проще. двусторонние последовательности возьмите и оператор сдвига

Что считать "проще" - дело вкуса :) Надо бы вот попробовать еще с сильной сходимостью, как вы говорили.

[Oleg Zubelevich]

я пока додумался только вот до чего. Если в условии считать, что сходимость поточечная, то последовательность операторов $A_n^{-1}A$ сходится поточечно к $I$. Следовательно, $\ker A=\{0\}$ и на $A(X)$ определен ограниченый оператор

$$В,\quad BA=I\qquad (*)$$

Дальше $AA_n^{-1}=(A-A_n)A_n^{-1}+I$. Теперь будем рассматривать пространство $Y$ со слабой топологией. Очень хочется применить теорему Банаха -Штейнгауза к последедовательности $A-A_n$ в части равномерной сходимости на компактных множествах, поскольку множество $\{A_n^{-1}y\}$ относительно слабо компактно в $Y$. Для этого нужна слабая секвенциальная полнота $Y$. Но наверное, без нее всетаки можно обойтись, поскольку нам не надо доказывать существование предельного оператора, он уже существует это 0.
И так, по теореме Банаха-Штейнгауза, $AA_n^{-1}y\to y$ слабо для любого $y\in Y$.
В силу (*) , мы получаем оператор $C,\quad AC=I$. Следовательно $A(X)=Y$. достаточность доказана. Как-будто.

[popolznev]

А! Я, кажется, понял: там не слабая операторная сходимость, а слабая сходимость в банаховом пространстве линейных операторов. Вот где собака-то порылась.

[sup]

Сильной поточечной сходимости не хватает для обратимости $A$.
Здесь (в примере ТС) поточечный предел - это сдвиг вправо: $(x_1,x_2,x_3 \dots) \to (0, x_1,x_2,x_3 \dots)$.
Оценку $\|x\| \leqslant C\|Ax\|$ доказать легко, но это дает лишь инъективность. Т.е. образ замкнут, но может не совпадать с $Y$.

[popolznev]

sup в сообщении #812037 писал(а):

в примере ТС поточечный предел - это сдвиг вправо

Не, у меня все-таки влево: $x_2$ же сразу становится на место $x_1$, а $x_1$ уезжает всё дальше и дальше.

[sup]

Ну значит надо сделать аналогично, но сдвиг вправо. Для левого сдвига сходимость в каждой точке будет лишь слабая. А для правого сдвига - сильная. То что надо.