Помогите решить функциональное уравнение

[Ktina]

Найдите все функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$ такие, что для любых действительных $x, y$ верно равенство

$$\left (f\dfrac{x+y}{2}\right )^2=f(x+y)f(x-y)$$

(Попытка:)

Для любого $a\in\mathbb R$ имеем

$$\left (f\dfrac{a+(-a)}{2}\right )^2=f(a+(-a))f(a-(-a))$$

Иными словами,

$$f^2(0)=f(0)f(2a)$$

Случай 1:
Если $f(0)\ne 0$, то

$$f(0)=f(2a)$$

, откуда следует

$$f\equiv C$$

И легко проверить, что любая вещественная константа удовлетворяет условию задачи.
Случай 2:
Если же $f(0)=0$, то

$$\left (f\dfrac{a+a}{2}\right )^2=f(a+a)f(a-a)$$

, то бишь

$$f^2(a)=f(2a)f(0)=f(2a)\cdot 0=0$$

, откуда следует

$$f(a)=0$$

, что сводит второй случай к первому.

Итак, мой ответ:

$$f\equiv C$$

Как-то так?

[SpBTimes]

Но во втором случае у вас не произвольная константа.

[Ktina]

SpBTimes в сообщении #812056 писал(а):

Но во втором случае у вас не произвольная константа.

А что это меняет? Ответ на задачу: "Все тождественные вещественные константы, и только они". Разве нет?

[SpBTimes]

А, тогда верно