2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение09.01.2014, 18:19 
Аватара пользователя
Найдите все функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$ такие, что для любых действительных $x, y$ верно равенство $$\left (f\dfrac{x+y}{2}\right )^2=f(x+y)f(x-y)$$

(Попытка:)

Для любого $a\in\mathbb R$ имеем
$$\left (f\dfrac{a+(-a)}{2}\right )^2=f(a+(-a))f(a-(-a))$$
Иными словами, $$f^2(0)=f(0)f(2a)$$
Случай 1:
Если $f(0)\ne 0$, то $$f(0)=f(2a)$$
, откуда следует $$f\equiv C$$
И легко проверить, что любая вещественная константа удовлетворяет условию задачи.
Случай 2:
Если же $f(0)=0$, то
$$\left (f\dfrac{a+a}{2}\right )^2=f(a+a)f(a-a)$$
, то бишь
$$f^2(a)=f(2a)f(0)=f(2a)\cdot 0=0$$
, откуда следует
$$f(a)=0$$
, что сводит второй случай к первому.

Итак, мой ответ: $$f\equiv C$$

Как-то так?

 
 
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение09.01.2014, 18:25 
Аватара пользователя
Но во втором случае у вас не произвольная константа.

 
 
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение09.01.2014, 18:28 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #812056 писал(а):
Но во втором случае у вас не произвольная константа.

А что это меняет? Ответ на задачу: "Все тождественные вещественные константы, и только они". Разве нет?

 
 
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение09.01.2014, 21:18 
Аватара пользователя
А, тогда верно

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group