Радиальные колебания

[Omega]

Помогите пожалуйста со следующей задачей:
Найти период малых радиальных колебаний релятивистской частицы вблизи круговой орбиты при движении в поле с потенциалом $U(r)=-\alpha/r-\beta/r^{2}$
В нерелятивистском случае всё более-менее ясно:

$$m\vec{a}_{n}=-\dfrac{mv^{2}}{|\vec{r}|}\vec{e}_{r}=-\dfrac{\delta U(r)}{\delta r} \vec{e}_{r} \Rightarrow |\vec{r}_{0}|=\dfrac{\alpha}{mv^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{mv^{2}} \left ( \dfrac{\alpha^{2}}{mv^{2}}+8\beta \right)}$$

Пусть $\Delta r =|\vec{r}-\vec{r}_{0}|$, тогда $U(r)$ вблизи $r_{0}$ будет иметь следующее разложение:

$$U(\Delta r)=-{\frac {\alpha}{r_{{0}}}}-{\frac {\beta}{r_{{0}}^{2}}}+ \left( {\frac {\alpha}{r_{{0}}^{2}}}+{\frac {2\beta}{r_{{0}}^{3}}} \right)\Delta r + \left( -{\frac {\alpha}{r_{{0}}^{3}}}-{\frac {3\beta}{r_{{0}}^{4}}} \right)\Delta r^{2}+O \left( |\Delta r| ^{3} \right ) , \Delta r \rightarrow 0$$

В итоге:

$$\omega^{2}= {\frac {\alpha}{r_{{0}}^{3}}}+{\frac {3\beta}{r_{{0}}^{4}}$$

А как же быть если частица движется с релятивистскими скоростями?

Заранее большое спасибо Всем за помощь и полезные комментарии.

[Munin]

А какой вообще смысл у потенциала в релятивистском случае?

[Omega]

На самом деле,Munin, я в начале задался тем же вопросом...
Я не знаю, как выглядит потенциал в общем (с учётом релятивистских эффектов) случае. Просто я подумал, что в задаче (http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.4504.pdf, задача 8.37) предполагается некоторое упрощение, до которого я так и не могу догадаться.

[Munin]

Я так понимаю, сначала вам надо нерелятивистскую задачу переделать, путём вычисления эффективного потенциала (он будет складываться из данного в задаче $U$ и центробежного потенциала).

Потом в релятивистской, центробежный потенциал нужно получить заново, из релятивистского выражения для кинетической энергии и релятивистского выражения для момента. После этого, действовать как и в вашем решении: поправки при $\Delta r^1$ должны сократиться, а при $\Delta r^2$ - дать частоту.

[Omega]

То есть, как я понимаю, выкладки выше, - неправильные? Разве просто сила притяжения не равна центробежной силе?
Munin, я Вас не так ясно понял. Эффективный потенциал это же ведь $U(r)=-\alpha/r-\beta/r^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}$, ну а причём здесь он?

[lucien]

Вам нужен тот потенциал, который описывает радиальное движение, а это и есть эффективный потенциал (или по другому - при движении сохраняется момент и это тоже нужно учитывать).

[Munin]

Omega в сообщении #812059 писал(а):

То есть, как я понимаю, выкладки выше, - неправильные?

Правильные, но выписывая их, вы не перейдёте легко к релятивистскому случаю.

Omega в сообщении #812059 писал(а):

Munin, я Вас не так ясно понял. Эффективный потенциал это же ведь $U(r)=-\alpha/r-\beta/r^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}$, ну а причём здесь он?

При том, что вам надо будет член $L^2/2mr^2$ поменять. Кстати, не обозначайте исходный и эффективный потенциалы одной буквой - запутаетесь.

[Omega]

Спасибо за пояснения.
То есть верно ли в "обычном случае" следующее:

$$U_{0}(\Delta r)\approx-{\frac {\alpha}{r_{{0}}}}-{\frac {\beta}{r_{{0}}^{2}}}+\dfrac{L^{2}}{2mr_{0}^{2}}+ \left( {\frac {\alpha}{r_{{0}}^{2}}}+{\frac {2\beta}{r_{{0}}^{3}}}-\dfrac{L^{2}}{mr_{{0}}^{3}} \right) \Delta r + \left( -{\frac {\alpha}{r_{{0}}^{3}}}-{\frac {3\beta}{r_{{0}}^{4}}}+\dfrac{3L^{2}}{2mr_{{0}}^{4}} \right)\Delta r^{2}$$

$$\Delta U_{0}(\Delta r)=\left( -{\frac {\alpha}{r_{{0}}^{3}}}-{\frac {3\beta}{r_{{0}}^{4}}}+\dfrac{3L^{2}}{2mr_{{0}}^{4}} \right)\Delta r^{2}$$

?

[Munin]

Из условия, что член при $\Delta r$ в первой степени равен нулю, вычисляете $L,$ и подставляете в то, что написали. Должно совпасть с ответом в post811980.html#p811980 .

[Omega]

Странно, у меня не совпало: получилось, что $\omega^{2}=\frac{\alpha}{mr_{0}^{3}}$ . Что-то разве не так?

[Munin]

Значит, я думаю, решение post811980.html#p811980 было неправильное. Ну конечно, там же не учитывалось сохранение момента.

[Omega]

Тогда можно ли считать, что в релятивистском случае момент импульса есть обычное выражение для момента импульса помноженное на гамма, в приближении того, что скорость частицы практически постоянна во время движения по орбите?

[Munin]

Omega в сообщении #812476 писал(а):

Тогда можно ли считать, что в релятивистском случае момент импульса есть обычное выражение для момента импульса помноженное на гамма

$M_z=xp_y-yp_x=m\gamma(xv_y-yv_x),$ так что да. И приближений никаких не надо.

[Omega]

Спасибо. Ну так и даже если выражение для момента импульса изменится, ответ получается - останется тем же, введь верно?
Однако по-моему, выражение для $|\vec{r}_{0}|$ должно измениться, так как в релятивистском случае центробежная сила это не $mv^{2}/r$, не так ли? Но какая же тогда?

[Munin]

Omega в сообщении #812538 писал(а):

Спасибо. Ну так и даже если выражение для момента импульса изменится, ответ получается - останется тем же, введь верно?

Не понял, почему тем же? Центробежный потенциал вычисляется как? Берёте кинетическую энергию, выделяете в ней радиальную и угловую часть, и выражаете вторую через момент импульса. Кинетическая энергия изменится, момент импульса изменится...